المشتقة

# وسم · @ مؤلف · ! عالم

مشتقة الدالة f عند نقطة x هي نهاية نسبة ازدياد الدالة Δf إلى ازدياد المتغير Δx، عندما يؤول Δx إلى الصفر. يرمز لها بـ f'(x) أو df/dx. إذا كانت الدالة تصف المسافة s(t)، فمشتقتها الأولى s'(t) هي السرعة اللحظية، والثانية s''(t) هي التسارع. تسمح قواعد الاشتقاق (المجموع، الجداء، الدالة المركبة) بإيجاد المشتقات تحليلياً دون حساب النهاية مباشرة.

التاريخ

نشأت الفكرة في القرن السابع عشر بالتزامن عند إسحاق نيوتن (باسم 'فلوكنسيا' — سرعة التغير) وغوتفريد لايبنتز (مقاربة هندسية عبر المماسات). لاحقاً، أعطى أوغستين لوي كوشي تعريفاً دقيقاً عبر النهاية.

كيف يعمل

تشبه التصوير الفوتوغرافي بزمن تعريض قصير: بدلاً من حركة متوسطة مشوشة خلال ثانية، نرى الموضع اللحظي. رياضياً، هي نهاية نسبة زيادة صغيرة جداً في الدالة إلى زيادة صغيرة جداً في المتغير.

💡 سرعة نمو عدد سكان الكوكب في هذه اللحظة هي مشتقة دالة 'العدد الإجمالي للسكان' بالنسبة للزمن. يستخدم الاقتصاديون المشتقة لمفهوم التكاليف الحدية — كم تزيد التكاليف عند إنتاج وحدة إضافية واحدة من المنتج.

لتكن f: U → ℝ دالة، حيث U مجموعة مفتوحة على المستقيم. مشتقة f عند النقطة x₀ تُعرف بأنها f'(x₀) = lim_{h→0} [f(x₀+h)−f(x₀)]/h، إذا وجدت النهاية. هندسياً، هذا هو ظل زاوية ميل المماس للرسم البياني. الصنف C¹ يعني أن المشتقة متصلة. التعميمات: المشتقة الاتجاهية ومشتقة فريشيه لدوال عدة متغيرات، المشتقات الجزئية. العلاقة مع التكامل يعطيها المبرهنة الأساسية للتحليل. المشتقة أساس التقريبات الخطية (التفاضل) والطرق العددية (طريقة نيوتن).

التاريخ

في ستينيات القرن السابع عشر، طور نيوتن طريقته في الفلوكنسات، بينما أنشأ لايبنتز في سبعينياته شكلياته المستقلة للتفاضلات dx. حفز النزاع الطويل حول الأسبقية تطور المدرستين البريطانية والقارية. في عشرينيات القرن التاسع عشر، أعطى أوغستين لوي كوشي تعريف ε-δ الدقيق للنهاية، الذي يقوم عليه التعريف الحديث للمشتقة. قدم ريمان مفهوم التكامل، مغلقاً النظرية.

كيف يعمل

الاشتقاق عملية خطية: (f+g)' = f'+g'، (cf)' = cf'. صيغ مشتقات الدوال الابتدائية (قوى، مثلثية، أسية) تم الحصول عليها من التعريف عبر النهاية. للدالة المركبة، تطبق قاعدة السلسلة: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x). جهاز المشتقات يسمح بحل مسائل الأمثَلة (مساواة المشتقة بالصفر)، وبناء التقريبات ودراسة ديناميك الأنظمة الفيزيائية عبر قوانين نيوتن التي تؤول إلى معادلات تفاضلية.

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

f'(x) — مشتقة الدالة f عند النقطة x؛ h — زيادة صغيرة جداً للمتغير تؤول إلى الصفر؛ الكسر — معامل الفرق، ظل زاوية ميل القاطع.

\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}

n — أس ثابت، يمكن أن يكون أي عدد حقيقي؛ x — متغير؛ القاعدة: الأس يخرج كمضاعف، وتنقص القوة بمقدار واحد.

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

وجود دوال متصلة غير قابلة للاشتقاق في أي مكان (دالة فايرشتراس) — ماذا يعني 'نعومة' العمليات الطبيعية؟; تطوير خوارزميات فعالة للاشتقاق التلقائي من أجل تعلم الآلة

💡 مشتقة الدالة الأسية فريدة: (eˣ)' = eˣ. بل وأكثر، أي دالة متناسبة مع eˣ تمتلك نفس الشكل وسرعة النمو — العائلة الوحيدة للدوال الذاتية لمؤثر الاشتقاق بقيمة ذاتية حقيقية.

لا مقالات بعد

المشتقة

التاريخ

كيف يعمل

التاريخ

كيف يعمل

التاريخ

كيف يعمل

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

مقالات ذات صلة