Nota de trabajo · termodinámica · parte XII
Radiación del cuerpo negro: cómo el color delata la temperatura de una estrella
Un atizador al rojo vivo, una bombilla incandescente y una estrella lejana brillan según la misma ley — y fue precisamente el intento de explicarla por completo en 1900 lo que dio origen a la física cuántica.
Cualquier cuerpo emite radiación térmica, y la forma de esa emisión depende solo de la temperatura — no del material (para un «cuerpo negro» ideal). La ley de Wien (1893) da el color del pico de emisión, la ley de Stefan-Boltzmann (1879/1884) la potencia total, y la fórmula de Planck (1900) la forma exacta de toda la curva, y precisamente el intento de deducir esta fórmula «desde cero» llevó a Max Planck a suponer que la energía se emite en paquetes — cuantos. En esta nota, las tres leyes con números y cómo los astrónomos pesan estrellas por su color.
Tres leyes de un mismo fenómeno
| Ley | Qué proporciona | Fórmula |
|---|---|---|
| Wien (1893) | a qué longitud de onda está el pico de emisión | λmax = b/T |
| Stefan-Boltzmann (1879/84) | potencia total de emisión | j* = σT⁴ |
| Planck (1900) | la forma completa de la curva en cada longitud de onda | B(λ,T) — ver §4 |
Las tres hablan del mismo objeto — cuerpo negro absoluto, un absorbente ideal (y, por tanto, emisor ideal) de cualquier luz incidente. Estrellas reales, bombillas incandescentes y carbones al rojo vivo son, sorprendentemente, una buena aproximación a esta idealización.
Ley de Wien: el color delata la temperatura
Formulación. La longitud de onda en la que se encuentra el pico de emisión es inversamente proporcional a la temperatura:
Ejemplo numérico: un cuerpo se calienta a T = 2900 K (filamento típico de bombilla incandescente). Calcule la longitud de onda del pico de emisión.
El pico de una bombilla incandescente está en el infrarrojo, NO en el visible: la bombilla calienta más de lo que ilumina, y la luz visible amarillo-blanca es solo la «cola» de la curva de Planck (§4) que se asoma en la región visible. Por eso las lámparas LED (con el pico justo en la luz visible) son mucho más eficientes.
Ley de Stefan-Boltzmann: la potencia crece cuatro veces más rápido
Formulación. La potencia total de emisión por unidad de área aumenta con la CUARTA potencia de la temperatura:
La cuarta potencia no es poca cosa: si se duplica la temperatura absoluta de un cuerpo, no brilla el doble, sino 2⁴ = 16 veces más. Es una dependencia drástica, «explosiva», comparada con la lineal.
La gigante roja Betelgeuse es más fría que el Sol (∼3500 K contra 5800 K) — solo por su temperatura debería brillar menos. Pero la luminosidad total también depende del ÁREA superficial (j*·4πR²), y el radio de Betelgeuse es cientos de veces mayor que el solar — el área gigantesca compensa con creces la temperatura más baja, y la estrella brilla decenas de miles de veces más potente que el Sol.
Fórmula de Planck y el nacimiento de los cuantos
A finales del siglo XIX, la física clásica (ley de Rayleigh-Jeans) predecía que un cuerpo negro debería emitir INFINITA energía en longitudes de onda cortas — un resultado absurdo, llamado «catástrofe ultravioleta». Los cuerpos reales no se comportan así: tienen un pico claro y caen hacia ambos lados.
Mueva el control deslizante de temperatura hacia arriba (§2, animación) — la forma de toda la curva cambia por completo: el pico se desplaza a la izquierda (ley de Wien) Y toda la curva sube (ley de Stefan-Boltzmann, el área bajo la curva crece como T⁴) simultáneamente, según una sola fórmula:
Planck halló esta fórmula casi por tanteo en 1900 — se ajustaba perfectamente a los datos experimentales, uniendo la ley de Wien (ondas cortas) y la de Rayleigh-Jeans (ondas largas) en una sola curva. Para justificarla teóricamente, tuvo que suponer que la energía no se emite de forma continua, sino en paquetes E = hν — cuantos. El propio Planck consideró esto durante mucho tiempo un truco matemático, no una realidad física, hasta que Einstein usó la misma idea para explicar el efecto fotoeléctrico (parte VI, ecuación de Planck-Einstein) en 1905.
Ejemplo integral: pesar una estrella por su color
Los astrónomos no pueden viajar a las estrellas con una regla y un termómetro — todo el conjunto de datos de una estrella suele reducirse a su espectro. Combinemos ambas leyes en un solo problema.
Paso 1 (ley de Wien). La estrella B es el doble de caliente que el Sol (T☉ = 5800 K, TB = 11600 K) — por tanto, el pico de su espectro está desplazado al doble cerca del ultravioleta: la estrella es visiblemente más azul que el Sol a simple vista/en el espectrógrafo. Así se mide T sin saber nada de la distancia a la estrella.
Paso 2 (ley de Stefan-Boltzmann). Si el radio de la estrella B es igual al del Sol, ¿cuántas veces brilla más?
Combinando ambas mediciones (el color da T, el brillo a una distancia conocida da la luminosidad total L), a partir de la ley de Stefan-Boltzmann L = 4πR²σT⁴ se obtiene también el radio de la estrella R — todo el conjunto de parámetros físicos de la estrella se consigue sin salir de la Tierra, solo con su luz.
Hacia dónde nos lleva: la radiación relicta
El espectro natural de cuerpo negro más preciso jamás medido no es el de una estrella, sino el del propio universo. La radiación relicta (de fondo de microondas) es luz enfriada que se liberó unos 380 000 años después del Big Bang, cuando el universo se enfrió lo suficiente para volverse transparente. Hoy, tras 13.800 millones de años de expansión, se ha enfriado hasta T ≈ 2.725 K — y sigue la fórmula de Planck (§4) con una precisión que ninguna estufa de laboratorio en la Tierra podría igualar.
Los satélites COBE, WMAP y Planck midieron esta radiación con una precisión fantástica — pequeñísimas desviaciones de la curva ideal de Planck (del orden de una cienmilésima) llevan la huella de los primeros instantes del universo y son la base de la cosmología moderna, incluyendo la ley de Hubble y las ecuaciones de Friedman (siguiente nota de la serie).
En el sitio estas son leyes separadas, si se quiere profundizar:
Ley de radiación de Planck · Ley de desplazamiento de Wien · Ley de Stefan-Boltzmann
Experimento en casa
Encienda una placa eléctrica (de resistencia, no de inducción) al máximo y obsérvela desde una distancia segura, sin tocarla, durante uno o dos minutos.
Qué observar la resistencia pasa de oscuro (radiación infrarroja, se siente el calor pero no se ve luz) a rojo tenue, luego a naranja brillante — una ilustración directa de la ley de Wien: el calentamiento desplaza el pico de emisión desde el infrarrojo invisible hacia el espectro visible.
Apunte el mando a distancia del televisor hacia la cámara del smartphone (no directamente al ojo — el LED infrarrojo del mando no es visible directamente) y pulse cualquier botón mientras mira la pantalla del teléfono en modo cámara.
Qué observar en la pantalla del teléfono se ve un punto brillante parpadeante en la punta del mando — que el ojo desnudo no ve en absoluto. El LED del mando emite en el infrarrojo cercano (baja «temperatura» comparada con la luz visible), y el sensor de la cámara del teléfono (a diferencia del ojo humano) también es sensible a ese rango.
Problemas de verificación
Primero piense por su cuenta, luego abra la solución. La solución sigue siempre el esquema: Datos → Ley → Solución → Respuesta.
1. La superficie de una estrella tiene una temperatura de 5800 K (como el Sol). Calcule la longitud de onda del pico de su emisión.
Datos T = 5800 K, b ≈ 0.0029 m·K.
Ley ley de Wien (§2): λmax = b/T.
Solución λmax = 0.0029/5800 ≈ 5×10⁻⁷ m = 500 nm.
Respuesta 500 nm — región verde del espectro visible (el Sol se ve blanco porque emite en todo el rango visible a la vez, no solo en el pico).
2. La temperatura de una estrella se triplica. ¿Cuántas veces aumenta su potencia total de emisión por unidad de área?
Datos Tnueva = 3T.
Ley ley de Stefan-Boltzmann (§3): j* ∝ T⁴.
Solución j*nueva/j* = 3⁴ = 81.
Respuesta 81 veces.
3. Dos estrellas con la misma temperatura, pero el radio de la estrella B es el triple que el de la estrella A. ¿Cuántas veces brilla más la estrella B (en luminosidad total)?
Datos TA = TB, RB = 3RA.
Ley luminosidad total L = 4πR²σT⁴ (§3) — a igual T depende solo del área, R².
Solución LB/LA = (RB/RA)² = 3² = 9.
Respuesta 9 veces — la luminosidad crece con el área, no con el radio directamente.
4. La radiación relicta tiene hoy una temperatura de ≈2.7 K. ¿En qué longitud de onda aproximada está su pico? ¿En qué rango es (visible, IR, microondas)?
Datos T ≈ 2.7 K, b ≈ 0.0029 m·K.
Ley ley de Wien (§2, §6).
Solución λmax = 0.0029/2.7 ≈ 1.07×10⁻³ m ≈ 1.1 mm.
Respuesta ≈1.1 mm — rango de microondas (de ahí el nombre «radiación de FONDO de MICROONDAS»).
5. ¿Por qué Planck tuvo que suponer que la energía se emite en paquetes (cuantos) y no de forma continua, para deducir la fórmula correcta del espectro?
Ley «catástrofe ultravioleta» y la fórmula de Planck (§4).
Solución la física clásica (ley de Rayleigh-Jeans, emisión continua) predecía un crecimiento infinito de la energía en ondas cortas — un absurdo que contradice el experimento. La introducción de la cuantización (el oscilador solo puede emitir energía en paquetes E=hν) corta la contribución de altas frecuencias: cuanto mayor es la frecuencia, más «caro» es cada cuanto, y estadísticamente estos cuantos se emiten cada vez menos — la curva desciende en lugar de crecer sin límite.
Respuesta la cuantización elimina la catástrofe ultravioleta — sin ella, la teoría clásica da un resultado físicamente absurdo (infinito).
Una errata, una fórmula incorrecta, un número que no cuadra, una explicación confusa — escríbenos: feedback@bridge42worlds.org. Cada mensaje se lee de verdad, se analiza y se corrige — no se queda en el cajón.