Nota de trabajo · termodinámica · parte XI
Ecuación de los gases ideales: moléculas como un redoble de tambor contra las paredes
Una fórmula de cuatro letras — pV=nRT — controla tanto el inflado de un globo al sol, como el funcionamiento de un motor de coche y la predicción del tiempo.
En 1834, Émile Clapeyron unificó tres leyes experimentales independientes (Boyle, Charles, Gay-Lussac) en una sola ecuación de estado del gas ideal. Detrás de la sencilla fórmula pV = nRT hay una honesta imagen microscópica: la presión es la estadística de los impactos de miles de millones de moléculas contra las paredes del recipiente. En esta nota: las tres leyes particulares, la deducción desde la teoría cinética y un ejemplo numérico continuo con un globo.
La ecuación en pocas palabras
| Magnitud | Significado | Unidad SI |
|---|---|---|
| p | presión | Pa |
| V | volumen | m³ |
| n | cantidad de sustancia | mol |
| T | temperatura absoluta | K (¡no °C!) |
El gas «ideal» es un modelo en el que las moléculas se consideran puntos sin volumen propio y sin atracción mutua (solo interactúan mediante colisiones elásticas). Los gases reales (aire, nitrógeno, oxígeno) en condiciones ambiente normales cumplen esta ecuación con una precisión suficiente para cálculos de ingeniería; las desviaciones solo se notan a presiones muy altas o temperaturas muy bajas (§6).
Tres leyes particulares dentro de una
pV = nRT «contiene» tres leyes experimentales anteriores como casos particulares: cada una se obtiene fijando una variable:
| Ley | Condición | Relación |
|---|---|---|
| Boyle (1662) | T = const | pV = const |
| Charles (1787) | p = const | V/T = const |
| Gay-Lussac (1802) | V = const | p/T = const |
Tres científicos, trabajando en épocas diferentes e independientemente, en realidad midieron la misma fórmula desde distintos ángulos, como tres sabios ciegos palpando diferentes partes de un elefante. Clapeyron, en 1834, fue el primero en ver el conjunto.
Imagen microscópica
Pulse en los modos de arriba: las moléculas se mueven más rápido al calentar (más golpes contra la pared por segundo Y cada golpe es más fuerte; ambos efectos aumentan la presión) o chocan con más frecuencia contra las paredes en un volumen menor al comprimir. De la teoría cinética de los gases se puede deducir rigurosamente:
donde nV — es el número de moléculas por unidad de volumen, ⟨Ek⟩ es la energía cinética media de una molécula. La presión no es una sustancia separada, sino una consecuencia estadística directa de que billones de moléculas bombardean las paredes del recipiente cada segundo.
Ley unificada
Para una cantidad fija de gas (n no cambia), de pV = nRT se obtiene una forma práctica conveniente: comparar dos estados del mismo gas sin necesidad de conocer R ni n:
Ejemplo numérico (ley de Boyle, T = const): un gas a presión p₁ = 100 kPa ocupa un volumen V₁ = 2 L. Se comprime hasta V₂ = 0.5 L a la misma temperatura. Calcule la nueva presión.
Comprimido 4 veces en volumen: la presión aumentó exactamente 4 veces. Simple proporcionalidad inversa de la ley de Boyle.
Ejemplo continuo: el globo
Un globo en el suelo (p₁ = 100 kPa, V₁ = 3 L, T₁ = 300 K) se lleva a una habitación cálida junto a un radiador, donde a la vez se comprime un poco por la gente alrededor hasta V₂ = 2 L y se calienta hasta T₂ = 330 K. Calcule la nueva presión dentro del globo.
Los tres efectos — presión inicial, compresión y calentamiento — se tienen en cuenta con una sola fórmula, sin necesidad de calcular n o R. Así es como en la práctica ingenieros y meteorólogos trabajan con gases: no con magnitudes absolutas, sino con la relación entre dos estados.
A dónde nos lleva: cuando el gas no es ideal
El modelo de gas ideal es una aproximación que funciona peor cuanto más denso es el gas y más cerca está del punto de condensación a líquido. Dos suposiciones que se violan en condiciones reales: las moléculas TIENEN volumen propio (no son puntos) y entre ellas HAY una débil atracción (fuerzas de Van der Waals). A alta presión, las moléculas se empaquetan más densamente y la atracción comienza a contraer el gas notablemente, reduciendo la presión efectiva sobre las paredes en comparación con el modelo ideal.
Johannes van der Waals, en 1873, corrigió la ecuación de estado con dos términos adicionales que tienen en cuenta el volumen propio de las moléculas y su atracción mutua: (p + a/V²)(V − b) = nRT. A temperatura suficientemente baja, esta ecuación predice no solo la fase gaseosa, sino también la líquida de la misma sustancia: un modelo del que nació la comprensión moderna de las transiciones de fase y el punto crítico (por lo que Van der Waals recibió el Premio Nobel en 1910).
En el sitio web, esta es una ley aparte, por si se quiere profundizar:
Experimento en casa
Infle un globo hasta un tamaño mediano a temperatura ambiente, marque con un rotulador el diámetro aproximado y luego métalo en el refrigerador durante 15-20 minutos (no en el congelador, porque la goma se endurecerá).
Qué observar el globo se encogerá notablemente (con la misma cantidad de aire dentro y casi la misma presión atmosférica fuera): una demostración directa de la ley de Charles/Gay-Lussac: bajar T a p casi constante requiere reducir V. Sáquelo de nuevo al calor y el globo se inflará hasta el tamaño original.
Tome una jeringa médica sin aguja, aspire un poco de aire, tape bien la abertura con el dedo (para que no pueda salir el aire) e intente presionar el émbolo.
Qué observar cuanto más comprime (reduce V), más resistencia ofrece la jeringa contra el dedo: la presión creciente sigue exactamente la ley de Boyle pV = const (§4): la mitad de volumen, el doble de presión; lo siente físicamente con la mano.
Problemas de verificación
Piense primero usted mismo, luego abra la solución. La solución sigue siempre el esquema: Datos → Ley → Solución → Respuesta.
1. Un gas a presión de 200 kPa y volumen de 4 L (T constante) se expande hasta 8 L. Calcule la nueva presión.
Datos p₁ = 200 kPa, V₁ = 4 L, V₂ = 8 L, T = const.
Ley ley de Boyle (§2): p₁V₁ = p₂V₂.
Solución p₂ = p₁V₁/V₂ = 200·4/8 = 100 kPa.
Respuesta 100 kPa — el doble de volumen, la mitad de presión.
2. Un gas a presión constante ocupa 2 L a temperatura de 300 K. ¿Hasta qué volumen se expandirá al calentarlo a 450 K?
Datos V₁ = 2 L, T₁ = 300 K, T₂ = 450 K, p = const.
Ley ley de Charles (§2): V₁/T₁ = V₂/T₂.
Solución V₂ = V₁·T₂/T₁ = 2·450/300 = 3 L.
Respuesta 3 L.
3. Un cilindro cerrado con gas a 300 K tiene una presión de 150 kPa. ¿Hasta qué temperatura hay que calentarlo para que la presión suba a 200 kPa (el volumen del cilindro no cambia)?
Datos p₁ = 150 kPa, T₁ = 300 K, p₂ = 200 kPa, V = const.
Ley ley de Gay-Lussac (§2): p₁/T₁ = p₂/T₂.
Solución T₂ = T₁·p₂/p₁ = 300·200/150 = 400 K.
Respuesta 400 K (127 °C).
4. ¿Por qué, según la teoría cinética (§3), la presión del gas aumenta al calentar aunque el volumen y el número de moléculas no cambien?
Ley fórmula (1), §3: p = (2/3)nV⟨Ek⟩.
Solución la temperatura es, en esencia, una medida de la energía cinética media de las moléculas ⟨Ek⟩. Al calentar (nV no cambia, el volumen y el número de moléculas son los mismos) las moléculas se mueven en promedio más rápido: cada golpe contra la pared es más fuerte Y los golpes ocurren más a menudo (la partícula llega a la pared y regresa más rápido); ambos efectos aumentan p.
Respuesta aumento de la energía cinética media de las moléculas — golpes más fuertes y más frecuentes contra las paredes.
5. ¿En qué condiciones (presión alta/baja, temperatura alta/baja) el gas real se describe peor por la ecuación de gas ideal? ¿Por qué?
Ley limitaciones del modelo (§6).
Solución peor es a ALTA presión y BAJA temperatura: las moléculas se acercan, su volumen propio deja de ser despreciable comparado con el espacio libre, y las fuerzas de atracción (Van der Waals) se hacen notables; ambas suposiciones del modelo ideal (partículas puntuales sin interacción) se violan. En esas mismas condiciones, el gas suele aproximarse al punto de condensación a líquido.
Respuesta alta presión + baja temperatura — condiciones cercanas a la condensación.
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