Aceleración del sensor en una rueda que gira verticalmente

Un disco de radio R gira en el plano vertical alrededor de un eje horizontal fijo con velocidad angular constante ω. En la llanta está fijado un sensor — un acelerómetro triaxial, que gira junto con el disco y mide la aceleración en su propio sistema de referencia no inercial. Todo ocurre en la superficie de la Tierra, en un campo gravitatorio uniforme g.

No nos interesa una rotación abstracta, sino un régimen concreto y «ajustado»: la velocidad angular se elige de modo que, en el instante en que el sensor pasa por el punto superior de la llanta, el módulo de su lectura se vuelva cero, y cuando pasa por el punto inferior sea exactamente 2g. Es una situación reconocible: la misma condición determina la velocidad mínima en el punto superior de un rizo de montaña rusa. La obtendremos rigurosamente a partir de primeros principios.

Tarea en cuatro pasos:

1. entender qué «siente» realmente el acelerómetro (§2);
2. describir la cinemática del punto en la llanta en ejes fijos (§3);
3. componer a partir de ellos las lecturas del sensor a(t) y elegir ω para satisfacer la condición 0 g / 2 g (§4–§5);
4. estudiar la señal resultante — su forma, hodógrafo y espectro (§6–§8).

El primer detalle, y el más importante: el acelerómetro no mide la gravedad directamente. Dentro de un acelerómetro MEMS hay una masa de prueba sobre resortes; el dispositivo mide con qué fuerza deben tirar los resortes de esa masa para que se mueva junto con la carcasa. La gravedad, en cambio, actúa sobre la masa de prueba y sobre la carcasa por igual — no genera tensión en los resortes y por eso es «invisible» para el sensor.

Compruébelo con un ejemplo cotidiano: un teléfono en reposo sobre una mesa muestra g ≈ 9.8 m/s² hacia arriba, aunque su aceleración verdadera es cero (no se mueve). El soporte lo proporciona la mesa, y es precisamente la fuerza de soporte — más exactamente, la aceleración que esta fuerza produciría en ausencia de gravedad — lo que registra el dispositivo. Y en caída libre, cuando la única fuerza es la gravedad, el acelerómetro marca exactamente cero, aunque la aceleración verdadera es g.

Aquí N — es justamente la fuerza de ligadura «no elástica» (tensión de los radios, reacción del soporte, etc.) que mide el acelerómetro, dividida por la masa. Fórmula general de las lecturas del dispositivo:

Los vectores aquí y en adelante se indican en negrita cursiva. Esta relación es, en esencia, la formulación del principio débil de equivalencia: el acelerómetro no puede distinguir entre «reposo en un campo gravitatorio» y «movimiento uniformemente acelerado lejos de masas» — solo percibe la diferencia entre la aceleración verdadera y g.

El eje del disco está fijo, el centro del disco en el origen de coordenadas. Eje x — horizontal hacia la derecha, eje y — vertical hacia arriba. Supongamos que en el instante t = 0 el sensor se encuentra en el punto superior. Posición del sensor en la llanta:

Derivamos dos veces respecto al tiempo. Dado que ω = const, el ángulo crece linealmente, y la segunda derivada no contiene término «tangencial» — solo centrípeta:

Aquí es importante la suposición física: el disco gira uniformemente (el motor mantiene ω = const independientemente del ángulo), por lo que la aceleración tangencial es siempre nula — a diferencia, por ejemplo, de una bolita en un hilo, que en el punto superior del rizo puede frenarse por acción de la misma gravedad. Conviene tener presente esta simplificación: en datos reales el motor no es ideal, y una ligera componente tangencial aparecerá inevitablemente.

Sustituyendo (3) en la fórmula del §2 (ecuación de lecturas del acelerómetro), con g_vec = (0, −g):

Esto ya es la respuesta completa a la pregunta «qué mostrará el acelerómetro en el instante t» — para cualquier R y ω, sin ajuste alguno a 0g/2g. A continuación elegimos la frecuencia.

Consideremos dos puntos singulares. Arriba (θ = 0): a_x = 0, a_y = g − ω²R. Abajo (θ = π): a_x = 0, a_y = g + ω²R. Módulos:

Exigimos |a|_sup = 0:

E inmediatamente, sin condiciones adicionales, de (4) obtenemos |a|_inf = g + g = 2g. Ya no hay parámetros libres: una vez fijado «0g arriba», «2g abajo» se obtiene automáticamente. No es casualidad — con ω²R = g la gravedad compensa exactamente la aceleración centrípeta arriba y exactamente la duplica abajo, porque en ambos puntos actúan a lo largo de la misma vertical.

Numéricamente, para R = 0.15 m (valor por defecto en el script): ω ≈ 8.087 rad/s, frecuencia de rotación f = ω/2π ≈ 1.287 Hz, período T ≈ 0.777 s. Sustituya el radio real de su banco de pruebas — la frecuencia cambiará como 1/√R.

Sustituimos ω²R = g en las lecturas del sensor: a_x = −g sin θ, a_y = g(1 − cos θ). Módulo:

Por la fórmula del ángulo mitad 1 − cos θ = 2sin²(θ/2):

Observe el argumento «mitad»: aunque el disco da una vuelta completa en un período T = 2π/ω, la señal |a(t)| también es periódica exactamente con período T (no T/2) — compruébelo en el gráfico: entre dos ceros (dos pasos por arriba) cabe exactamente una «joroba», correspondiente a un paso por abajo.

Y aquí están las componentes mismas — seno y coseno a la frecuencia ω duplicada (en comparación con el argumento mitad del módulo) de las que se compone el módulo:

Hay una bonita forma geométrica de ver el mismo resultado. Dado que a_x = −g sin θ y a_y − g = −g cos θ, entonces:

El extremo del vector a(t) se mueve sobre una circunferencia de radio g con centro en el punto (0, g) — y esta circunferencia pasa exactamente por el origen de coordenadas (0,0). De aquí se ve de inmediato por qué en el punto superior es posible un cero exacto: el origen de coordenadas está sobre la circunferencia, y no simplemente cerca de ella.

La fórmula |a(t)| = 2g|sin(θ/2)| ahora se lee como la longitud de esa cuerda: la distancia desde un punto en la circunferencia de radio g hasta un punto fijo de la misma circunferencia, si el ángulo central entre ellos es θ, es igual a 2g sin(θ/2) — un hecho clásico de geometría de la circunferencia (consecuencia del teorema del ángulo inscrito) que acabamos de deducir de la mecánica, sin siquiera sospecharlo de antemano.

El disco gira físicamente a una sola frecuencia f. Ingenuamente se podría esperar que la señal |a(t)| fuera también una sinusoide a esa misma frecuencia. No es así: la operación «módulo» (rectificación) es no lineal y genera todo un conjunto de armónicas. Es el mismo efecto que en la rectificación de onda completa de corriente alterna en electrónica — |sin x| es el ejemplo clásico con una serie de Fourier conocida:

La obtención de los coeficientes es un ejercicio estándar de los cursos de series de Fourier (integral a_n = (2/π)∫₀^π|sin x|cos(2nx)dx mediante las fórmulas del producto de senos); no lo reproducimos aquí completo — véase el problema 5 en §10 — sino que verificamos el resultado numéricamente a continuación, lo que para un físico no es menos convincente que las cuentas en papel.

Sustituyendo x = ωt/2 y multiplicando por 2g, obtenemos la serie de Fourier para la señal real:

Las armónicas decaen como A_n ∼ 2g/(πn²) — rápidamente, por lo que ya con 5–6 armónicas se obtiene una reconstrucción casi exacta de la señal. Abajo — comparación de las amplitudes analíticas con la transformada rápida de Fourier numérica (FFT) de los puntos a(t), y cómo las sumas parciales de la serie convergen a la curva exacta:

Conclusión metodológica clave: la presencia de armónicas n·f en el espectro de aceleración no significa que el disco gire a varias frecuencias — es un efecto puramente no lineal del paso del vector al módulo. Es importante tenerlo presente al comparar con el espectro de datos reales: las armónicas adicionales en sí mismas no son una anomalía; la anomalía es la desviación respecto a las amplitudes A aquí predichas_n.

Este modelo es un punto de partida idealizado: ω constante, sensor puntual exactamente en el radio R, eje ideal, g uniforme. Los registros reales (carpetas data_* y análisis espectral en lomb_scargle_spectrum.py) inevitablemente se desviarán de él, y las propias desviaciones son informativas:

• rizado en ω(t) — imperfecciones del motor — se manifestará como bandas laterales alrededor de las armónicas n·f;
• desalineación del eje del sensor respecto al plano de rotación mezclará una tercera componente y distorsionará las amplitudes A_n;
• la discrepancia del A₀ medido con el predicho 4g/π — es una manera simple y rápida de comprobar la calibración del sensor y la exactitud de R;
• el ruido del sensor elevará el piso de ruido del espectro entre las armónicas, que en el modelo ideal son estrictamente nulas.

El siguiente paso es superponer esta predicción (Fig. 4) al espectro real del agente giratorio del experimento y observar dónde divergen.