тензор

# тег · @ автор · ! учёный

Тензор — геометрический объект, обобщающий векторы и матрицы на произвольные размерности, компоненты которого преобразуются по ковариантным и контравариантным законам при замене координат. Тензор типа (p,q) имеет p контравариантных и q ковариантных индексов. В физике тензоры — естественный язык полей: метрический тензор g_μν задаёт расстояния, тензор Римана описывает кривизну, а тензор энергии-импульса T_μν служит источником гравитации в уравнениях Эйнштейна.

История

Термин «тензор» предложил Уильям Роуэн Гамильтон в 1846 году, но современную теорию развили Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита в конце XIX века. Их работа позволила Эйнштейну сформулировать общую теорию относительности, где гравитация описывается тензором кривизны.

Как работает

Представьте кубик желе под нагрузкой: сила, действующая на каждую грань, зависит от её ориентации. Тензор напряжений собирает все эти силы в одной математической конструкции. При повороте системы отсчёта числовые компоненты тензора изменяются, но физическое напряжённое состояние остаётся прежним — подобно тому, как пересчитываются координаты объекта на фотографии, снятой под другим углом.

💡 Упругость кожи описывается тензором четвёртого ранга, связывающим приложенную силу с деформацией в каждом направлении, — даже простые материалы обладают сложными направленными свойствами, выражаемыми тензорами.

Тензор — многомерная величина вроде таблицы с многими входами. Скаляр — одно число (ранг 0), вектор — столбец чисел (ранг 1), матрица — таблица (ранг 2); тензор ранга 3 подобен кубу чисел. При смене системы координат (повороте наблюдателя) его компоненты пересчитываются так, чтобы описываемая физическая реальность не изменялась, — как изменяются координаты объекта на фотографиях с разных ракурсов, тогда как сам объект неизменен.

История

Как работает

💡 В четырёхмерном пространстве-времени тензор кривизны Римана мог бы иметь 4^4 = 256 компонент, но благодаря симметриям их независимых всего 20 — именно столько чисел нужно для описания всех приливных гравитационных эффектов.

Тензоры — мультилинейные отображения из векторных пространств и их сопряжённых в скаляры. Формально тензор типа (p,q) на векторном пространстве V — элемент тензорного произведения V⊗...⊗V ⊗ V*⊗...⊗V* (p раз V, q раз V*). Число индексов равно p+q. В физике тензоры преобразуются через матрицу Якоби. Примеры: метрический тензор (0,2) для скалярных произведений; антисимметричный тензор электромагнитного поля F_μν; тензор Римана (1,3), измеряющий некоммутативность ковариантных производных. Тензорное исчисление с ковариантным дифференцированием необходимо для формулировки законов в виде, не зависящем от координат. В механике сплошных сред тензор напряжений Коши — симметричный (2,0). В машинном обучении тензоры — многомерные массивы данных, лежащие в основе глубоких нейросетей.

История

Понятие тензора выросло из работ Гаусса, Римана и Кристоффеля по дифференциальной геометрии. Риччи-Курбастро и Леви-Чивита разработали тензорное исчисление в 1890-х годах (опубликовав «Méthodes de calcul différentiel absolu» в 1900). Эйнштейн с помощью Марселя Гроссмана применил его в общей теории относительности (1915), где тензор Эйнштейна G_μν = R_μν - ½ R g_μν описывает кривизну пространства-времени. Позднее тензоры распространились в механике, электромагнетизме и, с появлением компьютеров, в обработке данных и машинном обучении.

Как работает

Тензоры определяются законом преобразования: ковариантный тензор A_μ преобразуется как A'_μ = (∂x^ν/∂x'^μ) A_ν, контравариантный B^μ — с обратным якобианом. Смешанные тензоры преобразуются соответственно. Операции: свёртка (суммирование по верхнему и нижнему индексам, уменьшающая ранг на 2), тензорное произведение и ковариантное дифференцирование (через символы Кристоффеля). Внешняя производная порождает антисимметричные тензоры. В физике действия записываются свёртками тензоров. Уравнения Эйнштейна G_μν = (8πG/c^4) T_μν связывают тензор кривизны Эйнштейна с тензором энергии-импульса. Вычисления с тензорами оптимизированы в библиотеках NumPy и TensorFlow.

V'^{\mu} = \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\nu}} V^{\nu}

V^ν — компоненты вектора в исходных координатах x, V'^μ — компоненты в новых координатах x', \frac{∂x'^μ}{∂x^ν} — матрица Якоби, производная новых координат по старым.

G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}

G_μν — тензор Эйнштейна (характеризует кривизну пространства-времени), R_μν — тензор Риччи (свёртка тензора Римана), R — скалярная кривизна (след тензора Риччи), g_μν — метрический тензор (определяет расстояния).

Открытые проблемы и интересные факты

Разработка полной квантовой теории гравитации, требующей квантования метрического тензора.; Эффективное сокращение тензорных сетей для многочастичных квантовых систем.; Классификация тензоров высших рангов и тензорные разложения в анализе данных.; Устранение сингулярностей в общей теории относительности, где тензоры кривизны обращаются в бесконечность.; Понимание голографического принципа, связывающего тензорные сети в объёмном пространстве с конформными теориями поля на границе.

Пока нет статей

тензор

История

Как работает

История

Как работает

История

Как работает

Открытые проблемы и интересные факты

Статьи по теме