Рабочая заметка · гидродинамика · часть IX
Уравнение Бернулли: почему быстрый поток давит слабее
Контринтуитивный факт, на котором держится половина авиации и вся парфюмерная промышленность: там, где жидкость или газ разгоняется, давление вокруг падает, а не растёт.
Даниил Бернулли в 1738 году вывел уравнение сохранения энергии для текущей жидкости: вдоль линии тока сумма давления, кинетической и потенциальной «энергий на единицу объёма» остаётся постоянной. Прямое следствие — там, где поток ускоряется (труба сужается), статическое давление обязано упасть. Этот же принцип объясняет распылители, карбюраторы и (с важными оговорками) подъёмную силу крыла. В этой заметке — вывод уравнения, труба Вентури с числами и честный разбор того, что Бернулли объясняет в полёте самолёта, а что — нет.
Уравнение в двух словах
| Слагаемое | Смысл |
|---|---|
| P | статическое давление — то, что показал бы манометр, движущийся вместе с потоком |
| ½ρv² | «динамическое давление» — энергия движения, отнесённая к объёму |
| ρgh | «гидростатическое давление» — энергия высоты (как в законе Архимеда, часть VIII) |
Три оговорки в определении — не мелкий шрифт, а именно те условия, где закон работает точно: стационарный поток (картина течения не меняется во времени), невязкий (без внутреннего трения), несжимаемый (плотность не меняется). Для воды это почти всегда хорошее приближение; для воздуха на высоких дозвуковых скоростях — тоже неплохое, но не идеальное (§6).
Откуда берётся: энергия потока
Уравнение Бернулли — не новый закон природы, а закон сохранения энергии (часть II), применённый к маленькому объёму жидкости, движущемуся вдоль линии тока. Каждое слагаемое — это вид энергии на единицу объёма:
- ½ρv² — прямой аналог кинетической энергии ½mv², только вместо массы m — плотность ρ (масса единицы объёма).
- ρgh — аналог потенциальной энергии mgh, тем же приёмом (m → ρ).
- P — «энергия давления»: работа, которую совершают соседние слои жидкости, проталкивая объём вперёд.
Если жидкость течёт горизонтально (h не меняется) и ускоряется, кинетический член ½ρv² растёт — а раз сумма должна оставаться постоянной, слагаемое P обязано упасть. Это не какая-то экзотика, а простая бухгалтерия энергии: скорость «одолжила» энергию у давления.
Сужение трубы: труба Вентури
Прежде чем считать давление, нужна скорость в узкой части — её даёт отдельный, более простой закон: уравнение неразрывности (жидкость не может «накапливаться» внутри трубы, сколько втекает — столько и вытекает):
Численный пример: широкая часть трубы в 4 раза шире узкой (по площади сечения), вода (ρ = 1000 кг/м³) течёт в широкой части со скоростью v₁ = 2 м/с. Труба горизонтальна (h не меняется).
Теперь падение давления по Бернулли (h не меняется, слагаемое ρgh сокращается с обеих сторон):
Давление в узкой части ниже широкой на целых 30 килопаскалей — почти треть атмосферного давления! Именно на этом принципе (трубка Вентури) работают карбюраторы, аэрографы и медицинские небулайзеры: узкий канал создаёт локальную зону низкого давления, которая подсасывает жидкость из бокового отверстия.
Крыло самолёта — не так просто
Популярное объяснение подъёмной силы: «крыло изогнуто сверху, воздух над ним бежит быстрее, значит давление там ниже, крыло толкает вверх». Это качественно верное направление рассуждения (быстрее сверху — действительно ниже давление сверху — действительно есть подъёмная сила), но конкретное, часто повторяемое обоснование «почему воздух бежит быстрее сверху» — миф.
Часто говорят: «частицы воздуха над и под крылом должны встретиться у задней кромки одновременно, а путь сверху длиннее — значит, скорость там больше». Это неверно: экспериментально частицы НЕ встречаются одновременно — поток над крылом обгоняет пару «снизу» с большим запасом. Реальная причина более высокой скорости сверху — форма крыла и угол атаки создают циркуляцию потока вокруг всего профиля (результат вязкости воздуха у самой поверхности и условия Кутта на задней кромке) — существенно более тонкий эффект, чем «путь длиннее — быстрее».
Уравнение Бернулли здесь — верный ИНСТРУМЕНТ подсчёта (раз есть разница скоростей — будет и разница давлений), но не объясняет, откуда берётся сама разница скоростей. Полное объяснение подъёмной силы требует ещё и третьего закона Ньютона: крыло отклоняет поток воздуха вниз (downwash), и по закону действия-противодействия воздух толкает крыло вверх — оба описания (энергетическое через Бернулли и импульсное через Ньютона) взаимно согласованы и вместе дают полную картину.
Сквозной пример: трубка Пито
Самолёты измеряют скорость относительно воздуха трубкой Пито — она сравнивает давление в двух точках: там, где поток заторможен до нуля (в носике трубки, «точка торможения»), и там, где он течёт свободно.
Численный пример: датчик показывает разницу давлений ΔP = 250 Па, плотность воздуха ρ ≈ 1.25 кг/м³. Какова скорость самолёта относительно воздуха?
≈72 км/ч — скромная скорость (лёгкий самолёт на взлёте), но метод один и тот же для любых скоростей вплоть до околозвуковых, где формулу приходится поправлять на сжимаемость воздуха (§6).
Куда это ведёт: пределы применимости
Три допущения из §1 — не формальность. Вязкость реальных жидкостей рассеивает часть энергии в тепло вдоль трубы (отсюда падение давления в длинных трубопроводах даже БЕЗ сужения — уравнение Бернулли в чистом виде этого не описывает, нужны поправки на трение). Сжимаемость становится существенной для газов на скоростях, сравнимых со скоростью звука (число Маха, приближающееся к 1) — тогда нужна более полная газовая динамика. Турбулентность вообще делает поток нестационарным на малых масштабах — уравнение справедливо для усреднённых, не мгновенных величин.
Уравнение Бернулли — частный, сильно упрощённый случай куда более общих уравнений Навье-Стокса, описывающих течение реальных вязких жидкостей и газов. Их точное аналитическое решение в общем случае — одна из семи «задач тысячелетия» (Математический институт Клэя, $1 000 000 за доказательство существования и гладкости решений) — не решена по сей день, хотя инженеры прекрасно считают течения численно, не дожидаясь математиков.
На сайте это отдельный закон, если хочется пройти глубже:
Эксперимент дома
Возьмите два листа бумаги, повесьте их параллельно друг другу на расстоянии 3-4 см (можно просто держать за верхние края двумя руками) и подуйте между ними, ровно в зазор.
Что заметить листы притянутся ДРУГ К ДРУГУ, а не разлетятся в стороны, как интуитивно ожидалось бы. Воздух между листами разгоняется — по Бернулли, давление там падает ниже атмосферного снаружи, и внешнее давление буквально прижимает листы внутрь, друг к другу.
Направьте фен (или пылесос в режиме выдува) вертикально вверх и аккуратно поместите лёгкий мячик для пинг-понга в поток воздуха над ним, отпустите.
Что заметить мячик зависает в воздухе, слегка покачиваясь, и не улетает из потока в стороны — как только он смещается к краю струи, там воздух вокруг двигается медленнее (обычное атмосферное давление), и более высокое давление снаружи «выталкивает» мячик обратно к центру быстрого потока, где давление ниже. Тот же принцип, что удерживает два листа бумаги вместе в предыдущем опыте.
Задачи для проверки
Сначала подумайте сами, затем откройте решение. Решение везде идёт по схеме: Дано → Закон → Решение → Ответ.
1. Вода течёт по горизонтальной трубе, сужающейся втрое по площади сечения. Скорость в широкой части 3 м/с. Найдите скорость в узкой части.
Дано A₁/A₂ = 3, v₁ = 3 м/с.
Закон уравнение неразрывности (§3): A₁v₁ = A₂v₂.
Решение v₂ = v₁·(A₁/A₂) = 3·3 = 9 м/с.
Ответ 9 м/с.
2. В предыдущей задаче найдите падение давления между широкой и узкой частью (вода, ρ = 1000 кг/м³).
Дано v₁ = 3 м/с, v₂ = 9 м/с, ρ = 1000 кг/м³.
Закон уравнение Бернулли для горизонтальной трубы (§3): ΔP = ½ρ(v₂²−v₁²).
Решение ΔP = 0.5·1000·(81−9) = 500·72 = 36 000 Па.
Ответ 36 кПа.
3. Трубка Пито показывает разницу давлений 500 Па в воздухе плотностью 1.25 кг/м³. Найдите скорость.
Дано ΔP = 500 Па, ρ = 1.25 кг/м³.
Закон формула трубки Пито (§5): v = √(2ΔP/ρ).
Решение v = √(2·500/1.25) = √800 ≈ 28.3 м/с.
Ответ ≈28.3 м/с (≈102 км/ч).
4. Правда ли, что «частицы воздуха над и под крылом самолёта встречаются у задней кромки одновременно»? Как это связано с реальным устройством подъёмной силы?
Закон §4 — разбор мифа о равном времени.
Решение нет, это распространённое заблуждение: экспериментально частицы НЕ встречаются одновременно, поток сверху приходит раньше. Настоящая причина разницы скоростей — циркуляция вокруг профиля крыла (эффект вязкости и условие Кутта на задней кромке), а не «более длинный путь сверху».
Ответ миф, неверно — Бернулли верно СЧИТАЕТ давление по уже известной разнице скоростей, но не объясняет, откуда берётся сама разница.
5. Почему уравнение Бернулли в базовой форме не предсказывает падение давления вдоль ДЛИННОЙ трубы ПОСТОЯННОГО сечения, хотя на практике оно наблюдается?
Закон ограничения применимости (§6) — допущение «невязкая жидкость».
Решение базовое уравнение Бернулли выведено для ИДЕАЛЬНОЙ (невязкой) жидкости, где энергия вдоль линии тока не теряется. В реальных трубах вязкое трение о стенки постепенно превращает часть энергии потока в тепло — эта потеря не входит в простую форму P+½ρv²+ρgh=const, отсюда и наблюдаемое на практике падение давления даже без изменения сечения.
Ответ вязкость — реальные жидкости не идеальны, энергия рассеивается в тепло, чего базовое уравнение не учитывает.
Опечатка, неверная формула, число не сходится, коряво объяснено — напишите нам: feedback@bridge42worlds.org. Каждое сообщение реально читается, разбирается и по нему вносится правка — это не «в стол».