Три закона Ньютона: как рождается динамика

Ньютон сформулировал три закона, но по сути это одна идея, поданная с трёх сторон: сила меняет движение, и мера этого изменения — масса тела.

Первый закон — не частный случай второго при F = 0, а отдельное утверждение: он определяет класс систем отсчёта (инерциальных), в которых второй закон вообще верен в этой простой форме. Порядок в заметке такой же, как исторически и педагогически принятый: сначала что такое «нет сил» (§2), потом что делают силы (§3), потом откуда силы вообще берутся — из взаимодействия тел (§4).

Формулировка. Если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю, тело движется с постоянной скоростью — в частности, покоится, если покоилось. Это утверждение нетривиально: до Ньютона (и Галилея) интуиция была «для движения нужна сила», потому что на Земле всё тормозит трением. Первый закон — идеализация: убери трение и сопротивление воздуха, и шайба, скользящая по льду, катится вечно.

Ключевое слово — равнодействующая. Силы на тело действовать могут, и даже немаленькие — важно, чтобы их векторная сумма была нулевой. Книга, лежащая на столе, испытывает и гравитацию, и реакцию опоры — обе не равны нулю, но уравновешивают друг друга.

Второй важный вывод первого закона — само существование инерциальных систем отсчёта: он выполняется не в любой системе координат, а только в тех, что сами не ускоряются и не вращаются относительно «неподвижных звёзд». Во вращающейся системе (например, в кабине карусели) свободное тело, на взгляд наблюдателя внутри, отклоняется без видимой силы — это и есть сигнал, что система неинерциальна.

Формулировка. Равнодействующая сила, приложенная к телу, равна произведению его массы на ускорение — или, точнее и общее, скорости изменения импульса:

Если масса постоянна (не ракета, теряющая топливо, а обычное тело), производная упрощается:

Одна и та же сила F толкает три груза разной массы — тот же расклад, что на Рис. 1: лёгкий вырывается вперёд, тяжёлый отстаёт. Счётчик v — не украшение, а честный live-расчёт по v=at (те же цифры, что в таблице выше на t=2с).

Три точки едут ПО ГРАФИКУ v(t) в реальном времени — та же анимация, что у грузов выше, только как функция, а не как сцена. Наклон прямой = ускорение a.

Масса здесь выступает как мера инертности: чем она больше, тем меньшее ускорение даёт та же сила. Численный пример — тележка массой m на гладком (без трения) горизонтальном столе, к которой приложена постоянная сила F = 6 Н:

Формулировка. Если тело A действует на тело B с силой F_A→B, то тело B действует на тело A с силой той же величины и противоположного направления:

Размер шарика ~ масса конькобежца, скорость на экране ~ реальная v_A/v_B из расчёта — тот же расклад, что на Рис. 2.

Частая путаница — считать, что раз силы равны и противоположны, они должны компенсировать друг друга и никакого движения быть не может. Ошибка в том, что F_A→B приложена к телу B, а F_B→A — к телу A: складывать их во втором законе (ΣF для ОДНОГО тела) нельзя, они действуют на разные объекты.

Числовой пример: два конькобежца массой m_A = 60 кг и m_B = 90 кг стоят неподвижно и отталкиваются друг от друга руками. Сила взаимодействия в каждый момент одна и та же для обоих (третий закон) — значит, импульс, переданный каждому (интеграл силы по времени), тоже одинаков по модулю:

Числа подобраны так, чтобы ответ вышел целым (стандартный приём — сначала закон, потом уже конкретные цифры под него). При импульсе толчка J = 180 кг·м/с: v_A = J/m_A = 180/60 = 3 м/с, v_B = −J/m_B = −180/90 = −2 м/с — лёгкий конькобежец улетает быстрее тяжёлого, но суммарный импульс системы всё время остаётся нулевым.

Соберём все три закона на одном примере. Ракета массой m = 1000 кг стоит на пусковой площадке.

1. Первый закон объясняет, почему она вообще неподвижна: сила тяги двигателей пока равна нулю, а гравитация уравновешена реакцией опоры — равнодействующая нулевая, скорость остаётся нулевой.
2. Двигатели запускаются и выбрасывают газ назад с силой реакции F = 15000 Н, направленной вверх — это прямое следствие третьего закона: газ толкает ракету с той же по модулю силой, с которой ракета толкает газ.
3. Пока масса ракеты примерно постоянна (в первые секунды сожжено мало топлива), второй закон даёт её ускорение: сила тяги минус вес.

По мере выгорания топлива масса m в знаменателе падает, и при той же тяге ускорение растёт — отсюда характерное «увеличивающееся» ускорение настоящих ракет на старте, которое здесь для простоты не учитывается (это следующий уровень задачи, где уже нельзя считать m постоянной и нужна полная форма (1)).

F = ma — не самая фундаментальная формулировка механики, а её частный (хоть и самый практичный) случай. Есть более общее утверждение, из которого все три закона Ньютона выводятся, а не постулируются: тело движется так, чтобы величина, называемая действием S, была стационарна (в простых случаях — минимальна) на реальной траектории по сравнению с любой другой мыслимой траекторией между теми же двумя точками:

Применение вариационного исчисления (уравнение Эйлера–Лагранжа) к (4) для обычной частицы в потенциальном поле даёт ровно второй закон Ньютона — не приближённо, а тождественно. Но формулировка через действие работает и там, где «сила» — неудобное или вовсе отсутствующее понятие (общая теория относительности, квантовая механика через интеграл по траекториям Фейнмана), поэтому она, а не F = ma, — рабочий язык современной теоретической физики.

Здесь механика соприкасается с философией — не случайно, а исторически: сам принцип впервые сформулировал в 1740-х Пьер-Луи Мопертюи как телеологический — природа «экономна» и действует с минимальными затратами, почти замысел. Современное прочтение (после Фейнмана) — не телеологическое: частица не «выбирает» лучший путь заранее, а реально проходит все мыслимые пути одновременно, и они складываются (интерферируют) так, что в классическом пределе выживает именно путь стационарного действия. Тем не менее вопрос «почему природа вообще устроена как задача оптимизации» остаётся открытым и обсуждается уже философией физики, а не только самой физикой — соединение теорфизики, математики вариационного исчисления и философии науки здесь неразделимо.

На сайте это отдельные законы, если хочется пройти глубже:

Принцип наименьшего действия · Теорема Нётер · Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии

Сначала подумайте сами, затем откройте решение — раскрывающийся блок под условием. Числа во всех задачах подобраны так, чтобы ответ выходил целым (стандартный приём для учебных задач: сначала фиксируется закон, а уже под него подгоняются удобные данные) — считать можно в уме, без калькулятора. Решение везде идёт по одной и той же схеме: Дано → Закон → Решение → Ответ.