Ускорение датчика на вертикально вращающемся колесе

Диск радиуса R вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω. На ободе закреплён датчик — трёхосевой акселерометр, который вращается вместе с диском и меряет ускорение в своей собственной, неинерциальной системе отсчёта. Всё происходит на поверхности Земли, в однородном поле тяжести g.

Нас интересует не абстрактное вращение, а конкретный, «настроенный» режим: угловую скорость подбирают так, чтобы в тот момент, когда датчик проходит верхнюю точку обода, модуль его показаний обращался в ноль, а когда он проходит нижнюю точку — был ровно 2g. Это узнаваемая ситуация: то же самое условие определяет минимальную скорость на верхней точке мёртвой петли американских горок. Мы получим её строго, из первых принципов.

Задача из четырёх шагов:

1. понять, что вообще «чувствует» акселерометр (§2);
2. расписать кинематику точки на ободе в неподвижных осях (§3);
3. собрать из них показания датчика a(t) и подобрать ω под условие 0 g / 2 g (§4–§5);
4. изучить получившийся сигнал — его форму, годограф и спектр (§6–§8).

Первая и самая важная тонкость: акселерометр не измеряет гравитацию напрямую. Внутри MEMS-акселерометра лежит пробная масса на пружинках; прибор измеряет, с какой силой пружинки должны тянуть эту массу, чтобы она двигалась вместе с корпусом. Гравитация же действует на пробную массу и на корпус одинаково — она не создаёт растяжения пружинок и потому «невидима» для датчика.

Проверьте на бытовом примере: телефон, спокойно лежащий на столе, показывает g ≈ 9.8 м/с² вверх, хотя его истинное ускорение равно нулю (он не движется). Опору держит стол, и именно силу опоры — точнее, ускорение, которое эта сила вызвала бы при отсутствии гравитации — и регистрирует прибор. А в свободном падении, когда единственная сила — гравитация, акселерометр показывает ровно ноль, хотя истинное ускорение равно g.

Здесь N — та самая «неупругая» сила связи (натяжение спиц, реакция опоры и т.п.), которую и меряет акселерометр, делённая на массу. Общая формула показаний прибора:

Векторы здесь и далее выделены жирным курсивом. Это соотношение — по сути формулировка слабого принципа эквивалентности: акселерометр не может отличить «покой в гравитационном поле» от «равноускоренное движение вдали от масс» — он чувствует только разницу между истинным ускорением и g.

Ось диска неподвижна, центр диска в начале координат. Ось x — горизонтально вправо, ось y — вертикально вверх. Пусть в момент t = 0 датчик находится в верхней точке. Положение датчика на ободе:

Дифференцируем дважды по времени. Поскольку ω = const, угол растёт линейно, и вторая производная не содержит «тангенциального» слагаемого — только центростремительное:

Здесь важно физическое допущение: диск вращается равномерно (мотор поддерживает ω = const независимо от угла), поэтому тангенциальное ускорение всегда нулевое — в отличие, скажем, от шарика на нитке, который в верхней точке петли может замедляться под действием той же гравитации. Это упрощение стоит держать в уме: в реальных данных мотор не идеален, и лёгкая тангенциальная составляющая неизбежно появится.

Подставляем (3) в формулу §2 (уравнение показаний акселерометра), с g_вект = (0, −g):

Это уже полный ответ на вопрос «что покажет акселерометр в момент t» — для любого R и ω, ещё без всякой настройки под 0g/2g. Дальше подбираем частоту.

Подставим две особые точки. Наверху (θ = 0): a_x = 0, a_y = g − ω²R. Внизу (θ = π): a_x = 0, a_y = g + ω²R. Модули:

Требуем |a|_верх = 0:

И тут же, без дополнительных условий, из (4) получаем |a|_низ = g + g = 2g. Свободного параметра больше нет: как только зафиксировали «0g наверху», «2g внизу» получается автоматически. Это не совпадение — при ω²R = g гравитация ровно компенсирует центростремительное ускорение наверху и ровно удваивает его внизу, потому что в обеих точках они действуют вдоль одной вертикали.

Численно, для R = 0.15 м (значение по умолчанию в скрипте): ω ≈ 8.087 рад/с, частота вращения f = ω/2π ≈ 1.287 Гц, период T ≈ 0.777 с. Подставьте реальный радиус вашего стенда — частота изменится как 1/√R.

Подставим ω²R = g в показания датчика: a_x = −g sin θ, a_y = g(1 − cos θ). Модуль:

По формуле половинного угла 1 − cos θ = 2sin²(θ/2):

Обратите внимание на «половинный» аргумент: несмотря на то, что диск делает полный оборот за период T = 2π/ω, сигнал |a(t)| тоже периодичен ровно с периодом T (не T/2) — проверьте это по графику: между двумя нулями (двумя проходами через верх) укладывается ровно один «горб», соответствующий одному проходу через низ.

А вот и сами компоненты — синус и косинус на удвоенной (по сравнению с половинным аргументом модуля) частоте ω, из которых модуль и складывается:

Есть красивый геометрический способ увидеть тот же результат. Так как a_x = −g sin θ и a_y − g = −g cos θ, то:

Конец вектора a(t) движется по окружности радиуса g с центром в точке (0, g) — и эта окружность проходит ровно через начало координат (0,0). Отсюда сразу видно, почему в верхней точке возможен точный ноль: начало координат лежит на окружности, а не просто рядом с ней.

Формула |a(t)| = 2g|sin(θ/2)| теперь читается как длина этой хорды: расстояние от точки на окружности радиуса g до фиксированной точки той же окружности, если центральный угол между ними равен θ, равно 2g sin(θ/2) — классический факт геометрии окружности (следствие теоремы о вписанном угле), который мы только что вывели из механики, даже не подозревая об этом заранее.

Диск физически вращается на одной частоте f. Наивно можно ожидать, что и сигнал |a(t)| — синусоида на той же частоте. Это не так: операция «модуль» (выпрямление) — нелинейная, и она порождает целый набор гармоник. Это тот же эффект, что и при двухполупериодном выпрямлении переменного тока в электронике — |sin x| является классическим примером с известным рядом Фурье:

Вывод коэффициентов — стандартное упражнение курса рядов Фурье (интеграл a_n = (2/π)∫₀^π|sin x|cos(2nx)dx через формулы произведения синусов); мы не переписываем его здесь целиком — см. задачу 5 в §10 — а вместо этого проверяем результат численно ниже, что для физика не менее убедительно, чем выкладки на бумаге.

Подставляя x = ωt/2 и умножая на 2g, получаем ряд Фурье для реального сигнала:

Гармоники затухают как A_n ∼ 2g/(πn²) — быстро, поэтому уже 5–6 гармоник дают почти точную реконструкцию сигнала. Ниже — сравнение аналитических амплитуд с численным быстрым преобразованием Фурье (БПФ) точек a(t), и то, как частичные суммы ряда сходятся к точной кривой:

Ключевой методический вывод: наличие гармоник n·f в спектре ускорения не означает, что диск вращается на нескольких частотах — это чисто нелинейный эффект перехода от вектора к модулю. Это важно держать в уме, сравнивая со спектром реальных данных: лишние гармоники сами по себе — не аномалия, аномалия — это отклонение от предсказанных здесь амплитуд A_n.

Эта модель — идеализированный ноль-пункт: постоянная ω, точечный датчик строго на радиусе R, идеальная ось, однородное g. Реальные записи (папки data_* и спектральный анализ в lomb_scargle_spectrum.py) неизбежно будут отклоняться от неё, и сами отклонения информативны:

• рябь на ω(t) — неидеальность мотора — проявится как боковые полосы вокруг гармоник n·f;
• перекос оси датчика относительно плоскости вращения подмешает третью компоненту и исказит амплитуды A_n;
• несовпадение измеренного A₀ с предсказанным 4g/π — простой и быстрый способ проверить калибровку датчика и точность R;
• шум датчика поднимет пол спектра между гармониками, которые в идеальной модели строго равны нулю.

Следующий шаг — наложить это предсказание (Рис. 4) на реальный спектр вращающегося агента из эксперимента и посмотреть, где они расходятся.