متسلسلة فورييه

# وسم · @ مؤلف · ! عالم

متسلسلة فورييه هي تمثيل لدالة دورية f(x) ذات دور T كمجموع دوال مثلثية: f(x) = a0/2 + Σ[a_n cos(2π n x/T) + b_n sin(2π n x/T)]. تحسب المعاملات a_n و b_n بوصفها مساقط الدالة على الموجات الجيبية وجيب التمام المقابلة وتُظهر مدى قوة كل توافقية في الإشارة الأصلية. يمكن التحليل بفضل تعامد الجيوب وجيوب التمام. متسلسلات فورييه أداة قوية لحل المعادلات التفاضلية (مثلاً معادلة الحرارة) وهي أساس التحليل الطيفي.

التاريخ

طور الرياضي الفرنسي جان باتيست جوزيف فورييه هذه الطريقة في أوائل القرن التاسع عشر خلال دراسته لانتشار الحرارة في الأجسام الصلبة.

كيف يعمل

تخيل أننا نتأرجح على أرجوحة: حركتنا تتكرر (دورية). تقول متسلسلة فورييه: يمكن تركيب هذه الحركة من عدة بندولات تتأرجح بسرعات مختلفة — أحدها بطيء، وآخر أسرع بمرتين، وآخر بثلاث مرات وهكذا. إذا اخترنا سعات (أوزان) هذه البندولات بشكل صحيح، ستعطي في مجموعها مسارنا.

💡 عند تفكيك إشارة مستطيلة إلى متسلسلة فورييه، يعطي مجموع التوافقيات الفردية درجًا يقترب من المستطيل كلما زاد عدد الحدود، لكن تبقى عند نقاط الانقطاع «قفزات» بارتفاع نحو 9% من سعة الإشارة — هذه ظاهرة غيبس التي تظهر في أي متسلسلة بانقطاعات.

متسلسلة فورييه التقليدية هي تفكيك الدالة f(x) القابلة للتكامل على الفترة [-π, π] في جملة دوال متعامدة كاملة {1, cos(nx), sin(nx)}n∈N، تمتلك خاصية التقريب الأفضل بمربع المتوسط. تحسب المعاملات من الصيغ a_n = (1/π)∫ f(x) cos(nx) dx, b_n = (1/π)∫ f(x) sin(nx) dx. في الشكل العقدي هذا يكافئ التفكيك على أسس e^{inx}، مما يربط متسلسلة فورييه بتحويل فورييه. لتقارب المتسلسلة إلى f(x) عند نقطة x يلزم توفر شروط ديريشليه (الرتابة القطعية وعدد محدود من الانقطاعات). يستخدم عمليًا التحويل السريع لفورييه (FFT) — خوارزمية تسمح بحساب المعاملات خلال O(N log N) عملية. تعمم متسلسلات فورييه على جمل متعامدة نظامية اعتباطية في فضاءات هيلبرت، مما يطبق في ميكانيكا الكم (تفكيك دالة الموجة على الحالات الذاتية) ومعالجة الإشارات.

التاريخ

ترجع جذور الفكرة إلى دانييل برنولي (1753) الذي مثل حركة الوتر بمجموع توافقيات. جان باتيست جوزيف فورييه في 1807 استخدم المتسلسلات المثلثية منهجيًا في مذكرته عن التوصيل الحراري واقترح طريقة لحساب المعاملات. رسخ كتابه «النظرية التحليلية للحرارة» (1822) هذا الجهاز رغم انتقادات المعاصرين لعدم الدقة. بنى بيتر غوستاف لوجون ديريشليه في 1829 نظرية دقيقة للتقارب، ثم طورها ريمان وليبيسغ وآخرون.

كيف يعمل

تعطي التوافقيات ذات الأرقام n طيفًا. الترددات المنخفضة تقابل تغيرات بطيئة، والمرتفعة تقابل تفاصيل سريعة. تكاملات المعاملات a_n و b_n هي الجداء القياسي للدالة مع الجيب وجيب التمام؛ وبفضل تعامد الأساس ∫ cos(nx) cos(mx) = 0 عند n≠m، «تنتشل» كل توافقية جزئها فقط من الإشارة. مجموع التوافقيات يعطي الدالة الأصلية في كل مكان تقريبًا، وعند الاقتطاع المنتهي يعطي أصغر خطأ مربع متوسط. يستخدم التحويل السريع لفورييه تناظر الجذور العقدية للوحدة، مختزلاً حساب DFT ذي N نقطة إلى اثنتين N/2-نقطة بشكل تكراري، مما يسرع المعالجة جذريًا. في الفيزياء، يستخدم تفكيك التوافقيات لتحليل السلاسل الزمنية (الفلك)، وتركيب الأنماط في حزم الليزر، وتشخيص البلازما، وحل معادلات شرودنغر.

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right)

f(x) — دالة دورية بدور T، a_0/2 — القيمة المتوسطة للدالة خلال الدور، a_n و b_n — معاملات فورييه، x — المتغير (مثل الزمن أو الإحداثي)، n — رقم التوافقية (عدد صحيح).

a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) dx, \quad b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) dx

a_n و b_n — سعات المركبتين الجيب وجيب التمام للتوافقية n، T — دور الدالة، f(x) — الدالة الأصلية، n — عدد صحيح (رقم التوافقية). يحسب التكامل على دور كامل واحد.

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

ظاهرة غيبس: عند عدد منتهٍ من الحدود، تبقى قفزات عند الانقطاع لا تختفي بزيادة N.; تفكيك دوال لا تحقق شروط ديريشليه قد يتباعد في نقاط مفردة.; الحاجة إلى تكييف الإشارات غير الدورية باستخدام تحويل فورييه النافذ أو المويجات.

💡 أحدثت خوارزمية كولي-توكي السريعة (1965) ثورة في المعالجة الرقمية؛ وحسب بعض التقديرات، يعد FFT من بين الخوارزميات الخمس الأكثر استخدامًا في العالم — ففي كل مرة تستمع إلى الموسيقى أو تشاهد الفيديو، يعمل FFT.

لا مقالات بعد

متسلسلة فورييه

التاريخ

كيف يعمل

التاريخ

كيف يعمل

التاريخ

كيف يعمل

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

مقالات ذات صلة