تحويل فورييه

# وسم · @ مؤلف · ! عالم

تحويل فورييه هو تحويل تكاملي يربط بين دالة ذات متغير حقيقي (غالباً الزمن) ودالة ذات متغير مركب (التردد). يقوم بتحليل الإشارة إلى قاعدة متعامدة من التذبذبات التوافقية. الناتج (الطيف) يُظهر سعة وطور كل مركبة ترددية. التحويل العكسي يسمح باستعادة الإشارة الأصلية. بفضل تحويل فورييه السريع (FFT) تعمل الخوارزمية بسرعة كبيرة وتُستخدم في معالجة الإشارات على نطاق واسع.

التاريخ

اقترح عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف فورييه هذه الفكرة عام 1807، أثناء دراسته لكيفية انتشار الحرارة في الأجسام الصلبة. فقد أدرك أن أي توزيع لدرجة الحرارة يمكن تمثيله كمجموع موجات بسيطة. لاحقاً، أصبحت هذه الطريقة تُستخدم في كل مكان - بدءاً من الموسيقى وصولاً إلى فيزياء الكم.

كيف يعمل

تخيل أنك بحاجة إلى معرفة أي الموجات تركت أثراً على الرمال. تحويل فورييه يعمل كمحقق: فهو يقارن الأثر بالتناوب بموجات مختلفة الطول والقوة. وحيثما يكون التطابق جيداً، تظهر «دليل» كبير. في الحاسوب، يتم ذلك بضرب الإشارة بجيوب اختبارية وجمع النتائج. نحصل على الطيف - رسم بياني يوضح الترددات الموجودة.

💡 في ميكانيكا الكم، تمثيل كمية الحركة للدالة الموجية هو صورة فورييه لتمثيلها الإحداثي. ينشأ مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ من خصائص تحويل فورييه: كلما كانت الإشارة أضيق في الزمن، كان طيفها أوسع.

يقوم تحويل فورييه بتحليل موجة معقدة إلى مكوناتها البسيطة. تَخيل أن صوتك يشبه حساءً من أصوات مختلفة: أزيز منخفض وصفير عالٍ. يأخذ تحويل فورييه هذا «الحساء» ويخبرك بكمية الأزيز وكمية الصفير وكمية الهسهسة فيه. يفعل ذلك من خلال مقارنة الإشارة الأصلية بجيوب نقية (موجات سلسة) لجميع الترددات الممكنة (التردد هو عدد الاهتزازات في الثانية). هكذا يمكننا من التسجيل الصوتي استخلاص النغمات، ومن الصورة استخلاص التحولات السلسة والخطوط الحادة.

التاريخ

كيف يعمل

💡 تحويل فورييه لدالة منتهية (تساوي الصفر خارج فترة محدودة) هو دالة تحليلية على كامل المستوى المركب - هذه هي مبرهنة بالي-فينر.

بالنسبة لدالة قابلة للتكامل المطلق f(t)، يُعرَّف تحويل فورييه المباشر بالصيغة f̂(ω) = ∫₋∞∞ f(t) e^{-iωt} dt، حيث t هو الزمن، وω هو التردد الزاوي. التحويل العكسي: f(t) = (1/2π) ∫₋∞∞ f̂(ω) e^{iωt} dω. هناك صيغ للدوال الدورية (متسلسلات فورييه) والمتتاليات المتقطعة (تحويل فورييه المتقطع، DFT). خوارزمية تحويل فورييه السريع (Cooley–Tukey، 1965) تسمح بحساب DFT في O(n log n) عملية. الخصائص: الخطية، الإزاحة تعطي عاملاً طورياً، الاشتقاق ↔ الضرب في iω، الالتفاف ↔ الجداء. التعميمات: تحويل فورييه متعدد الأبعاد، تحويل فورييه بالنوافذ، المويجات، تحليل فورييه على الزمر. في الفيزياء، يربط تحويل فورييه بين الفضاء الإحداثي وفضاء كمية الحركة، مما يؤدي إلى مبدأ عدم اليقين.

التاريخ

أظهر جان بابتيست جوزيف فورييه عام 1807 (نُشر عام 1822) في مذكرته حول انتشار الحرارة أن أي دالة يمكن تفكيكها إلى متسلسلة مثلثية. واجهت الفكرة معارضة من لاغرانج ولابلاس، اللذين شككا في تقارب المتسلسلات. لاحقاً، أوضح ديريشليه (1829) الشروط. وفي القرن العشرين، وسّع لوران شفارتس التحويل ليشمل الدوال المعممة (دالة ديراك دلتا). اليوم يُعد هذا أساس التحليل التوافقي.

كيف يعمل

رياضياً، تعمل النواة e^{-iωt} كـ «مجس»: لكل تردد ω نحسب ارتباط الإشارة مع اهتزاز توافقي لهذا التردد. التكامل يقيس «التشابه». بفضل تعامد الجيوب، يكون التحليل قابلاً للعكس دون ضياع. يستخدم تحويل فورييه السريع تماثل الجذور المركبة للوحدة، مما يقلص حساب مصفوفة كبيرة إلى سلسلة من الحسابات الصغيرة. في ميكانيكا الكم، الدالة الموجية في تمثيل كمية الحركة هي صورة فورييه للدالة الموجية الإحداثية، والعلاقة Δx Δp ≥ ħ/2 تنبع مباشرة من خصائص تحويل فورييه.

\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt

f(t) - الدالة الأصلية (عادة الزمن)، ω - التردد الزاوي، i - الوحدة التخيلية، e - أساس اللوغاريتم الطبيعي.

f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t} d\omega

من الطيف f̂(ω) يتم استعادة الدالة الأصلية f(t). العامل 1/(2π) يُطبِّع التحويل.

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

ليس لجميع الدوال صورة فورييه بالمعنى الكلاسيكي - يلزم التعميم على التوزيعات.; ظاهرة جيبس: عند نقاط الانقطاع، تُظهر متسلسلة فورييه نتوءات لا تتضاءل سعتها مع زيادة عدد الحدود (حوالي 9٪ من القفزة).; تفسير الترددات السالبة في التطبيقات الفيزيائية ليس بديهياً دائماً.; تتطلب الإشارات غير الثابتة تحويل فورييه بالنوافذ أو المويجات لتحليل مناسب.

لا مقالات بعد

تحويل فورييه

التاريخ

كيف يعمل

التاريخ

كيف يعمل

التاريخ

كيف يعمل

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

مقالات ذات صلة