التكامل
التكامل المحدد ∫ₐᵇ f(x)dx يمثل عددًا — مساحة شبه المنحني المنحني المحدود بمنحنى الدالة f(x) ومحور السينات والمستقيمين الرأسيين x=a و x=b. ويُعرَّف بأنه نهاية مجاميع ريمان: Σ f(ξᵢ)Δxᵢ عندما تؤول أطوال الفترات الجزئية العظمى إلى الصفر. التكامل غير المحدد هو عائلة الدوال الأصلية، أي الدوال F التي تحقق F'=f. وتربط بينهما صيغة نيوتن-لايبنتس: ∫ₐᵇ f = F(b)−F(a).
التاريخ
حسب أرخميدس مساحة قطعة القطع المكافئ بطريقة الاستنفاد، وهي قريبة من التكامل. وفي القرنين العاشر والحادي عشر، استخدم العالم العربي ابن الهيثم (الحسن بن الهيثم) طرق جمع القوى لحساب الحجوم، مما مهد لحساب التكامل. وفي القرن السابع عشر، اختزل إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتس، كل على حدة، التكامل إلى إيجاد الدالة الأصلية — وهذه هي المبرهنة الأساسية للتحليل الرياضي. لاحقًا، قدم برنارد ريمان تعريفًا دقيقًا للتكامل عبر نهايات المجاميع.
كيف يعمل
يشبه ذلك ملء منطقة ذات شكل غير منتظم بالفسيفساء: قطع صغيرة تغطي الشكل تقريبًا بدقة، ومجموع مساحاتها هو القيمة المطلوبة. رياضيًا، هو نهاية مجموع مساحات مستطيلات عند زيادة عددها بلا حدود.
💡 رمز التكامل ∫ هو حرف ſ (s الطويلة) منمق، من الكلمة اللاتينية summa، اقترحه لايبنتس. على عكس التفاضل، يعمل التكامل على تنعيم الدالة: فحتى المنحنى شديد التكسر يمكن أن يكون له تكامل أملس.