An integral is a mathematical object that generalizes the concept of area under a curve.التكامل المحدد ∫ₐᵇ f(x)dx يمثل عددًا — مساحة شبه المنحني المنحني المحدود بمنحنى الدالة f(x) ومحور السينات والمستقيمين الرأسيين x=a و x=b. ويُعرَّف بأنه نهاية مجاميع ريمان: Σ f(ξᵢ)Δxᵢ عندما تؤول أطوال الفترات الجزئية العظمى إلى الصفر. التكامل غير المحدد هو عائلة الدوال الأصلية، أي الدوال F التي تحقق F'=f. وتربط بينهما صيغة نيوتن-لايبنتس: ∫ₐᵇ f = F(b)−F(a).
استخدم إيودكسوس (حوالي 370 ق.م) وأرخميدس (287–212 ق.م) طريقة الاستنفاد، وهي النظير القديم للتكامل. وفي العصر الذهبي الإسلامي، استخدم ابن الهيثم (القرن الحادي عشر) طرقًا هندسية لجمع القوى لحساب الحجوم، مما مثّل خطوة مبكرة نحو التكامل. وفي القرن السابع عشر، صاغت أعمال نيوتن ولايبنتس المستقلة التكامل كعملية عكسية للتفاضل. وفي عام 1854، قدم ريمان أول تعريف رسمي، وفي بداية القرن العشرين، بنى هنري لوبيغ تكاملًا قائمًا على القياس، مما حل مشاكل أساسية في تبادل النهايات والتكامل.
المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت f متصلة على [a,b] و F أي دالة أصلية لها، فإن ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a). ينحصر الحساب في إيجاد الدالة الأصلية. التقنيات: تغيير المتغير، التكامل بالتجزئة (مشتقة حاصل الضرب)، التفكيك إلى كسور جزئية. بالنسبة للدوال الصعبة، تُستخدم طرق عددية (شبه المنحرف، سمبسون) أو تحويلات فورييه/لابلاس.
حساب المسافة المقطوعة من منحنى السرعة، ومساحة الشكل المعقد، والتنبؤ بالجرعة الإشعاعية التراكمية في المواد — كل ذلك عبر التكامل.
رمز التكامل ∫ هو حرف ſ (s الطويلة) منمق، من الكلمة اللاتينية summa، اقترحه لايبنتس. على عكس التفاضل، يعمل التكامل على تنعيم الدالة: فحتى المنحنى شديد التكسر يمكن أن يكون له تكامل أملس.
| i | متغير | inclination angle of the orbital plane — inclination angle radian |
| b | متغير | minor axis of the projected orbit — minor axis metre |
| a | متغير | major axis of the projected orbit — major axis metre |
| cos | مؤثر | cosine function — cosine function |
| N | متغير | Number of tiles needed — count |
| A | متغير | Total area to cover — مساحة square metre |
| a | متغير | Area of one tile — مساحة square metre |
| ⌈ ⌉ | مؤثر | Rounds up to the nearest integer — ceiling function |
| T | متغير | tunneling probability — transmission probability |
| z1 | متغير | left turning point of the barrier — موضع metre |
| z2 | متغير | right turning point of the barrier — موضع metre |
| m | متغير | mass of the tunneling particle — كتلة kilogram |
| V | متغير | potential energy as a function of position — الطاقة الكامنة (Potential Energy) joule |
| E | متغير | energy of the particle — طاقة joule |
| ħ | ثابت | fundamental quantum of action divided by 2π — ثابت بلانك المخفض = 1.054571817e-34 joule second |
| ∫ | مؤثر | sums the integrand over the interval — التكامل |
| √ | مؤثر | takes the non-negative root — جذر تربيعي |
| exp | مؤثر | raises e to the given power — exponential |
| T_{\mu\nu} | متغير | stress-energy tensor — stress energy tensor joule per metre cubed |
| k^\mu | متغير | null vector — null vector |
| t | متغير | time coordinate — زمن second |
| f(t) | متغير | sampling function — sampling function |
| C | متغير | dimensionless constant — dimensionless constant |
| t_0 | متغير | characteristic timescale — زمن second |
| \int_{-\infty}^{\inf | مؤثر | integration over all time — التكامل |
| DM | متغير | Dispersion measure — مقياس التشتت parsec per cubic centimetre |
| n_e | متغير | Electron number density — كثافة عدد الإلكترونات per cubic metre |
| l | متغير | Path length along line of sight — طول metre |
| ∫ | مؤثر | Integration along the line of sight — التكامل |
| kappa | متغير | weak lensing convergence — تقارب |
| theta | متغير | angular position on the sky — angular position radian |
| chi | متغير | comoving distance to the source — comoving distance metre |
| chi' | متغير | comoving distance along the line of sight — comoving distance metre |
| q | متغير | lensing efficiency function — lensing efficiency |
| a | متغير | scale factor — عامل مقياس |
| f_K | متغير | comoving angular diameter distance — comoving angular diameter distance metre |
| delta | متغير | matter density contrast — تباين الكثافة |
| H_0 | ثابت | current expansion rate of the universe — ثابت هابل = 2.2e-18 per second |
| Omega_m | ثابت | ratio of matter density to critical density today — matter density parameter = 0.315 |
| c | ثابت | speed of light in vacuum — سرعة الضوء = 299792458 metre per second |
| ∫ | مؤثر | summation over infinitesimal elements — التكامل |