معادلة برنولي: لماذا يضغط التدفق السريع بقوة أقل

التحفظات الثلاثة في التعريف – ليست تفاصيل صغيرة، بل هي الشروط التي يعمل فيها القانون بدقة: تدفق مستقر (نمط التدفق لا يتغير مع الزمن)، غير لزج (بدون احتكاك داخلي)، غير قابل للانضغاط (الكثافة لا تتغير). بالنسبة للماء، هذا تقريب جيد دائمًا تقريبًا؛ وبالنسبة للهواء عند السرعات العالية تحت الصوتية – مقبول أيضًا لكن ليس مثاليًا (الفقرة 6).

معادلة برنولي – ليست قانونًا جديدًا في الطبيعة، بل هي قانون حفظ الطاقة (الجزء الثاني) مطبقًا على حجم صغير من المائع يتحرك على طول خط التدفق. كل حد هو نوع من الطاقة لكل وحدة حجم:

• ½ρv² – نظير مباشر لطاقة الحركة ½mv²، فقط بدلاً من الكتلة m نستخدم الكثافة ρ (كتلة وحدة الحجم).
• ρgh – نظير طاقة الوضع mgh، بنفس الطريقة (m → ρ).
• P – "طاقة الضغط": العمل الذي تبذله طبقات المائع المجاورة لدفع الحجم إلى الأمام.

إذا كان المائع يتدفق أفقيًا (h لا يتغير) ويتسارع، فإن حد الطاقة الحركية ½ρv² يزداد – وبما أن المجموع يجب أن يبقى ثابتًا، فإن حد الضغط P يجب أن ينخفض. هذه ليست غرابة، بل محاسبة بسيطة للطاقة: السرعة "استعارت" طاقة من الضغط.

قبل حساب الضغط، نحتاج إلى السرعة في الجزء الضيق – ويعطيها قانون آخر أبسط: معادلة الاستمرارية(لا يمكن للمائع أن "يتراكم" داخل الأنبوب، ما يدخل منه يخرج):

مثال عددي: الجزء العريض من الأنبوب أوسع بأربع مرات من الجزء الضيق (من حيث مساحة المقطع)، يتدفق الماء (ρ = 1000 كغ/م³) في الجزء العريض بسرعة v₁ = 2 م/ث. الأنبوب أفقي (h لا يتغير).

الآن انخفاض الضغط حسب برنولي (h لا يتغير، يُختزل الحد ρgh من كلا الطرفين):

الضغط في الجزء الضيق أقل منه في العريض بمقدار 30 كيلوباسكال كاملة – أي ثلث الضغط الجوي تقريبًا! هذا هو بالضبط المبدأ (أنبوب فنتوري) الذي تعمل عليه الكاربوريترات، والمرشات الهوائية، وأجهزة الاستنشاق الطبية: القناة الضيقة تخلق منطقة محلية ذات ضغط منخفض تمتص السائل من الفتحة الجانبية.

التفسير الشائع لقوة الرفع: "الجناح منحني من الأعلى، الهواء فوقه يجري أسرع، إذن الضغط هناك أقل، ويدفع الجناح لأعلى". هذا اتجاه صحيح نوعيًا للاستدلال (أسرع فوق – بالفعل ضغط أقل فوق – بالفعل هناك قوة رفع)، لكن التبرير المحدد والمتكرر كثيرًا "لماذا يجري الهواء أسرع فوق" – أسطورة.

معادلة برنولي هنا – أداة صحيحة للحساب (بما أن هناك فرق سرعات – سيكون هناك فرق ضغوط)، لكنها لا تفسر من أين يأتي فرق السرعات نفسه. التفسير الكامل لقوة الرفع يتطلب أيضًا قانون نيوتن الثالث: الجناح يحرف تدفق الهواء إلى أسفل (downwash)، وبموجب قانون الفعل ورد الفعل يدفع الهواء الجناح إلى أعلى – كلا الوصفين (الطاقي عبر برنولي والزخمي عبر نيوتن) متسقان معًا ويعطيان الصورة الكاملة.

تقيس الطائرات السرعة بالنسبة للهواء باستخدام أنبوب بيتو – حيث يقارن الضغط في نقطتين: حيث يتوقف التدفق تمامًا (في مقدمة الأنبوب، "نقطة التوقف")، وحيث يتدفق بحرية.

مثال عددي: يظهر المستشعر فرق ضغط ΔP = 250 باسكال، كثافة الهواء ρ ≈ 1.25 كغ/م³. ما سرعة الطائرة بالنسبة للهواء؟

≈72 كم/سا – سرعة متواضعة (طائرة خفيفة عند الإقلاع)، لكن الطريقة واحدة لأي سرعة حتى القريبة من الصوت، حيث يجب تعديل المعادلة لتأثير انضغاطية الهواء (الفقرة 6).

الافتراضات الثلاثة من الفقرة 1 – ليست شكلية. اللزوجةالموانع الحقيقية تبدد جزءًا من الطاقة كحرارة على طول الأنبوب (ومن هنا انخفاض الضغط في الأنابيب الطويلة حتى بدون تضيق – معادلة برنولي بشكلها النقي لا تصف ذلك، وتحتاج إلى تصحيحات للاحتكاك). الانضغاطيةتصبح مهمة للغازات عند سرعات تقارن سرعة الصوت (عدد ماخ يقترب من 1) – عندها نحتاج إلى ديناميكا الغازات الكاملة. الاضطرابيجعل التدفق غير مستقر على المقاييس الصغيرة – المعادلة صالحة للقيم المتوسطة وليس اللحظية.

على الموقع هذا قانون مستقل، إذا أردت التعمق أكثر:

معادلة برنولي · قانون أرخميدس

فكر بنفسك أولاً، ثم افتح الحل. الحل في كل مكان يتبع المخطط: المعطيات → القانون → الحل → الإجابة.