ملاحظة عمل · الديناميكا الحرارية · الجزء الحادي عشر
معادلة الغاز المثالي: الجزيئات كدقة طبلة على الجدران
صيغة واحدة من أربعة أحرف — pV=nRT — تتحكم في نفخ البالون تحت الشمس، وعمل محرك السيارة، وتوقع الطقس.
في عام 1834، جمع إميل كلابيرون ثلاثة قوانين تجريبية مستقلة (بويل، شارل، غي-لوساك) في معادلة واحدة لحالة الغاز المثالي. خلف الصيغة البسيطة pV = nRT تكمن صورة مجهرية صادقة: الضغط هو إحصاء لارتطام مليارات الجزيئات بجدران الوعاء. في هذه الملاحظة — القوانين الجزئية الثلاثة، استنتاج من النظرية الحركية ومثال عددي ممتد على البالون الهوائي.
المعادلة في كلمتين
| الكمية | المعنى | وحدة النظام الدولي |
|---|---|---|
| p | الضغط | باسكال |
| V | الحجم | م³ |
| n | كمية المادة | مول |
| T | درجة الحرارة المطلقة | كلفن (وليس °م!) |
الغاز «المثالي» — نموذج حيث تُعتبر الجزيئات نقاطاً بدون حجم ذاتي، ولا تتجاذب فيما بينها (تتفاعل فقط بتصادمات مرنة). الغازات الحقيقية (الهواء، النيتروجين، الأكسجين) في الظروف الغرفية العادية تتبع هذه المعادلة بدقة كافية للحسابات الهندسية — تصبح الانحرافات ملحوظة فقط عند ضغط عالٍ جداً أو درجة حرارة منخفضة جداً (الفقرة 6).
ثلاثة قوانين جزئية داخل قانون واحد
pV = nRT «تحتوي» على ثلاثة قوانين تجريبية سابقة كحالات خاصة — كل منها يُحصل عليه بتثبيت أحد المتغيرات:
| القانون | الشرط | العلاقة |
|---|---|---|
| بويل (1662) | T = const | pV = const |
| شارل (1787) | p = const | V/T = const |
| غي-لوساك (1802) | V = const | p/T = const |
ثلاثة علماء، عملوا في أوقات مختلفة وبشكل مستقل، كانوا في الواقع يقيسون الصيغة نفسها من زوايا مختلفة — مثل ثلاثة حكماء عميان يتحسسون فيلاً من أجزاء مختلفة. كلابيرون في عام 1834 كان أول من رأى الكل.
الصورة المجهرية
اضغط على الأوضاع أعلاه: الجزيئات تطير أسرع عند التسخين (ضربات أكثر على الجدار في الثانية وكل ضربة أقوى — كلا التأثيرين يرفعان الضغط) أو تتصادم مع الجدران أكثر في حجم أصغر عند الضغط. من النظرية الحركية للغازات يمكن الاستنتاج بدقة:
حيث nV — عدد الجزيئات في وحدة الحجم، ⟨Ek⟩ — متوسط الطاقة الحركية لجزيء واحد. الضغط ليس مادة منفصلة، بل نتيجة إحصائية مباشرة لارتطام تريليونات الجزيئات بجدران الوعاء كل ثانية.
القانون الموحد
لأي كمية ثابتة من الغاز (n لا تتغير) من pV = nRT تنتج صيغة عملية مريحة — مقارنة بين حالتين من نفس الغاز دون الحاجة لمعرفة R أو n إطلاقاً:
مثال عددي (قانون بويل، T = ثابت): غاز عند ضغط p₁ = 100 كيلوباسكال يشغل حجماً V₁ = 2 لتر. يُضغط إلى V₂ = 0.5 لتر عند نفس درجة الحرارة. جد الضغط الجديد.
ضغطنا 4 مرات في الحجم — الضغط زاد بالضبط 4 مرات. التناسب العكسي البسيط لقانون بويل.
مثال ممتد: البالون الهوائي
بالون هوائي على الأرض (p₁ = 100 كيلوباسكال، V₁ = 3 لتر، T₁ = 300 كلفن) أُدخل إلى غرفة دافئة عند المدفأة، حيث انضغط قليلاً من قبل الجيران في الزحام إلى V₂ = 2 لتر وسخن إلى T₂ = 330 كلفن. جد الضغط الجديد داخل البالون.
كل التأثيرات الثلاثة — الضغط الابتدائي، الانضغاط والتسخين — حُسبت بصيغة واحدة فوراً، دون حاجة لحساب n أو R. هكذا بالضبط يعمل المهندسون وخبراء الأرصاد مع الغاز عملياً: ليس عبر الكميات المطلقة، بل عبر نسبة حالتين.
إلى أين يؤدي هذا: عندما لا يكون الغاز مثالياً
نموذج الغاز المثالي — تقريب يعمل بشكل أسوأ كلما كان الغاز أكثر كثافة وكلما كان أقرب إلى نقطة التكثف إلى سائل. افتراضان يُخالفان في الظروف الحقيقية: الجزيئات لها حجم ذاتي (ليست نقاطاً)، وبينها تجاذب ضعيف (قوى فان دير فالس) — عند الضغط العالي تتراص الجزيئات أكثر، ويبدأ التجاذب بشد الغاز بشكل ملحوظ، مقللاً الضغط الفعّال على الجدران مقارنة بالنموذج المثالي.
يوهانس فان دير فالس في عام 1873 عدل معادلة الحالة بحدين إضافيين يأخذان في الاعتبار الحجم الذاتي للجزيئات وتجاذبها المتبادل: (p + a/V²)(V − b) = nRT. عند درجة حرارة منخفضة بما فيه الكفاية، تتنبأ هذه المعادلة ليس فقط بالطور الغازي، بل أيضاً بالطور السائل لنفس المادة — نموذج ولّد منه الفهم الحديث للتحولات الطورية والنقطة الحرجة (والذي حصل عليه فان دير فالس على جائزة نوبل عام 1910).
على الموقع هذا قانون منفصل، إذا أردت التعمق أكثر:
تجربة منزلية
انفخ بالوناً هوائياً إلى حجم متوسط عند درجة حرارة الغرفة، علّم القطر التقريبي بقلم ماركر، ثم ضعه في الثلاجة لمدة 15-20 دقيقة (ليس في المجمد — هناك يتصلب المطاط).
ما ستلاحظه سينكمش البالون ملحوظياً في الحجم (بنفس كمية الهواء داخله وبنفس الضغط الجوي تقريباً خارجه) — عرض مباشر لقانون شارل/غي-لوساك: انخفاض T عند ثبات p تقريباً يتطلب انخفاض V. أخرجه مجدداً إلى الدفء — سيعود البالون للانتفاخ إلى حجمه الأصلي.
خذ محقناً طبياً بدون إبرة، اسحب قليلاً من الهواء، أغلق الفتحة بإحكام بإصبعك (بحيث لا يستطيع الهواء الخروج) وحاول دفع المكبس.
ما ستلاحظه كلما ضغطت أكثر (تقلل V)، كلما قاوم المحقن إصبعك أكثر — الضغط المتزايد يتبع تماماً قانون بويل pV = const (الفقرة 4): نصف الحجم — ضعف الضغط، تشعر بذلك جسدياً بيدك.
مسائل للتحقق
فكر بنفسك أولاً، ثم افتح الحل. الحل دائماً يتبع المخطط: معطى → قانون → حل → جواب.
1. غاز عند ضغط 200 كيلوباسكال وحجم 4 لتر (T ثابتة) يتمدد إلى 8 لتر. جد الضغط الجديد.
معطى p₁ = 200 كيلوباسكال، V₁ = 4 لتر، V₂ = 8 لتر، T = ثابت.
قانون قانون بويل (الفقرة 2): p₁V₁ = p₂V₂.
حل p₂ = p₁V₁/V₂ = 200·4/8 = 100 كيلوباسكال.
جواب 100 كيلوباسكال — الحجم ضعف، الضغط نصف.
2. غاز عند ضغط ثابت يشغل 2 لتر عند درجة حرارة 300 كلفن. إلى أي حجم سيتمدد عند التسخين إلى 450 كلفن؟
معطى V₁ = 2 لتر، T₁ = 300 كلفن، T₂ = 450 كلفن، p = ثابت.
قانون قانون شارل (الفقرة 2): V₁/T₁ = V₂/T₂.
حل V₂ = V₁·T₂/T₁ = 2·450/300 = 3 لتر.
جواب 3 لتر.
3. أسطوانة مغلقة بغاز عند 300 كلفن لها ضغط 150 كيلوباسكال. إلى أي درجة حرارة يجب تسخينها ليصبح الضغط 200 كيلوباسكال (حجم الأسطوانة لا يتغير)؟
معطى p₁ = 150 كيلوباسكال، T₁ = 300 كلفن، p₂ = 200 كيلوباسكال، V = ثابت.
قانون قانون غي-لوساك (الفقرة 2): p₁/T₁ = p₂/T₂.
حل T₂ = T₁·p₂/p₁ = 300·200/150 = 400 كلفن.
جواب 400 كلفن (127 °C).
4. لماذا يزداد ضغط الغاز، حسب النظرية الحركية (الفقرة 3)، عند التسخين حتى لو كان الحجم وعدد الجزيئات لا يتغيران؟
قانون الصيغة (1)، الفقرة 3: p = (2/3)nV⟨Ek⟩.
حل درجة الحرارة هي، أساساً، مقياس لمتوسط الطاقة الحركية للجزيئات ⟨Ek⟩. عند التسخين (nV لا يتغير، الحجم وعدد الجزيئات كما هما) تتحرك الجزيئات في المتوسط أسرع — كل ضربة على الجدار أقوى والضربات تحدث أكثر (الجسيم يصل إلى الجدار ويعود أسرع) — كلا التأثيرين يرفعان p.
جواب زيادة متوسط الطاقة الحركية للجزيئات — ضربات أقوى وأكثر تواتراً على الجدران.
5. تحت أي ظروف (ضغط عالٍ/منخفض، درجة حرارة عالية/منخفضة) يكون الغاز الحقيقي أسوأ وصفاً بمعادلة الغاز المثالي؟ لماذا؟
قانون محدودية النموذج (الفقرة 6).
حل الأسوأ — عند ضغط عالٍ ودرجة حرارة منخفضة: تقترب الجزيئات، حجمها الذاتي لا يعود مهملاً مقارنة بالحيز الفارغ، وقوى التجاذب (فان دير فالس) تصبح ملحوظة — كلا افتراضي النموذج المثالي (جسيمات نقطية، غير متفاعلة) يُخالفان. عند هذه الظروف نفسها يقترب الغاز عادة من نقطة التكثف إلى سائل.
جواب ضغط عالٍ + درجة حرارة منخفضة — ظروف قريبة من التكثف.
خطأ إملائي، صيغة خاطئة، رقم لا يتطابق، شرح أخرق — اكتب لنا: feedback@bridge42worlds.org. كل رسالة تُقرأ فعلاً وتُفحص ويُجرى تصحيح بناءً عليها — هذا ليس «للأدراج».