تسارع المستشعر على عجلة تدور عموديًا

قرص نصف قطره R يدور في مستوى عمودي حول محور أفقي ثابت بسرعة زاوية ثابتة ω. مثبت على الحافة مستشعر — مقياس تسارع ثلاثي المحاور، يدور مع القرص ويقيس التسارع في إطاره المرجعي غير القصوري الخاص به. كل شيء يحدث على سطح الأرض، في مجال جاذبية متجانس g.

لا يهمنا الدوران المجرد، بل نظام محدد «مضبوط»: تُختار السرعة الزاوية بحيث في لحظة مرور المستشعر بـ العليا من الحافة، يصبح مقدار قراءته صفر، وعندما يمر بـ السفلى يكون بالضبط 2g. هذه حالة معروفة: نفس الشرط يحدد السرعة الدنيا في النقطة العليا للحلقة الميتة في السفينة الدوارة. سنحصل عليها بدقة، من المبادئ الأولى.

المسألة من أربع خطوات:

1. فهم ما «يشعر به» مقياس التسارع فعليًا (§2)؛
2. كتابة كينماتيكا نقطة على الحافة في محاور ثابتة (§3)؛
3. تجميع قراءات المستشعر منها a(t) واختيار ω لتحقيق شرط 0 g / 2 g (§4–§5)؛
4. دراسة الإشارة الناتجة — شكلها، وهودوغرافها، وطيفها (§6–§8).

النقطة الدقيقة الأولى والأهم: مقياس التسارع لا يقيس الجاذبية مباشرة. داخل مقياس التسارع MEMS توجد كتلة اختبارية على نوابض؛ يقيس الجهاز القوة التي يجب أن تسحب بها النوابض هذه الكتلة لتتحرك مع الهيكل. أما الجاذبية فتؤثر على الكتلة الاختبارية والهيكل بالتساوي — فهي لا تسبب تمدد النوابض وبالتالي تكون «غير مرئية» للمستشعر.

تأكد بمثال يومي: الهاتف المستقر على الطاولة يظهر g ≈ 9.8 م/ث² للأعلى، رغم أن تسارعه الحقيقي صفر (لا يتحرك). الدعم توفره الطاولة، وقوة الدعم — بالأحرى التسارع الذي كانت ستنتجه هذه القوة لولا الجاذبية — هي ما يسجله الجهاز. وفي السقوط الحر، حيث القوة الوحيدة هي الجاذبية، يظهر مقياس التسارع صفرًا تمامًا، رغم أن التسارع الحقيقي يساوي g.

هنا N — هي قوة الربط «غير المرنة» (شد الأسلاك، رد فعل الدعم، إلخ) التي يقيسها مقياس التسارع، مقسومة على الكتلة. الصيغة العامة لقراءات الجهاز:

المتجهات هنا وفيما بعد مكتوبة بخط مائل عريض. هذه العلاقة هي أساسًا صياغة لمبدأ التكافؤ الضعيف: لا يستطيع مقياس التسارع التمييز بين «السكون في مجال جاذبية» و«الحركة المتسارعة بانتظام بعيدًا عن الكتل» — فهو يشعر فقط بالفرق بين التسارع الحقيقي و g.

محور القرص ثابت، مركز القرص في نقطة الأصل. المحور x — أفقي نحو اليمين، المحور y — عمودي نحو الأعلى. ليكن في اللحظة t = 0 المستشعر في النقطة العليا. موقع المستشعر على الحافة:

نشتق مرتين بالنسبة للزمن. بما أن ω ثابتة، الزاوية تزداد خطيًا، والمشتقة الثانية لا تحتوي على حد «مماسي» — فقط الجاذب المركزي:

هنا افتراض فيزيائي مهم: القرص يدور بانتظام (المحرك يحافظ على ω = const بغض النظر عن الزاوية)، وبالتالي التسارع المماسي دائمًا صفر — بخلاف، مثلًا، كرة على خيط يمكن أن تتباطأ في النقطة العليا من الحلقة تحت تأثير الجاذبية نفسها. يجدر تذكر هذا التبسيط: في البيانات الحقيقية، المحرك ليس مثاليًا، ولا بد أن يظهر مركب مماسي طفيف.

نعوّض (3) في صيغة §2 (معادلة قراءات مقياس التسارع)، مع g_شعاعي = (0, −g):

هذا هو الجواب الكامل على سؤال «ما الذي سيظهره مقياس التسارع في اللحظة t» — لأي R و ω، دون أي ضبط لـ 0g/2g بعد. بعد ذلك نختار التردد.

نعوض نقطتين خاصتين. في الأعلى (θ = 0): a_x = 0, a_y = g − ω²R. في الأسفل (θ = π): a_x = 0, a_y = g + ω²R. المقادير:

نطلب |a|_علوي = 0:

وعلى الفور، دون شروط إضافية، نحصل من (4) على |a|_سفلي = g + g = 2g. لم يعد هناك بارامتر حر: بمجرد تثبيت «0g في الأعلى»، يصبح «2g في الأسفل» تلقائيًا. ليست هذه صدفة — عند ω²R = g تعوض الجاذبية تمامًا التسارع المركزي في الأعلى وتضاعفه تمامًا في الأسفل، لأنه في النقطتين يؤثران على طول نفس العمود.

عدديًا، لأجل R = 0.15 م (القيمة الافتراضية في السكريبت): ω ≈ 8.087 راد/ث، تردد الدوران f = ω/2π ≈ 1.287 هرتز، الدور T ≈ 0.777 ث. عوّض نصف القطر الحقيقي لمنصتك — سيتغير التردد كـ 1/√R.

نعوض ω²R = g في قراءات المستشعر: a_x = −g sin θ, a_y = g(1 − cos θ). المقدار:

باستخدام صيغة نصف الزاوية 1 − cos θ = 2sin²(θ/2):

لاحظ السعة «النصفية»: رغم أن القرص يتم دورة كاملة في زمن دور T = 2π/ω، فالإشارة |a(t)| دورية أيضًا تمامًا بزمن دور T (وليس T/2) — تحقق من ذلك من الرسم البياني: بين صفرين (مرورين عبر الأعلى) توجد «حدبة» واحدة بالضبط، تقابل مرورًا واحدًا عبر الأسفل.

وها هي المركبات نفسها — الجيب وجيب التمام على تردد ω المضاعف (مقارنة بالسعة النصفية للمقدار)، والتي يتركب منها المقدار:

هناك طريقة هندسية جميلة لرؤية نفس النتيجة. بما أن a_x = −g sin θ و a_y − g = −g cos θ، إذن:

نهاية المتجه a(t) تتحرك على دائرة نصف قطرها g مركزها النقطة (0, g) — وهذه الدائرة تمر تمامًا بنقطة الأصل (0,0). من هنا يتضح فورًا لماذا يمكن أن يكون الصفر مضبوطًا في النقطة العليا: نقطة الأصل تقع على الدائرة، وليس بجوارها فحسب.

الصيغة |a(t)| = 2g|sin(θ/2)| تُقرأ الآن كطول هذا الوتر: المسافة من نقطة على دائرة نصف قطرها g إلى نقطة ثابتة على نفس الدائرة، إذا كانت الزاوية المركزية بينهما θ، تساوي 2g sin(θ/2) — حقيقة كلاسيكية من هندسة الدائرة (نتيجة لنظرية الزاوية المحيطية)، والتي استنتجناها للتو من الميكانيكا، دون أن ندري مسبقًا.

القرص يدور فيزيائيًا على تردد واحد f. بسذاجة قد نتوقع أن الإشارة |a(t)| — جيبية على نفس التردد. ليس الأمر كذلك: عملية «المقدار» (التقويم) غير خطية، وتولد مجموعة كاملة من التوافقيات. هذا هو نفس التأثير كما في تقويم الموجة الكاملة للتيار المتردد في الإلكترونيات — |sin x| مثال كلاسيكي بمتسلسلة فورييه معروفة:

استنتاج المعاملات — تمرين قياسي من مقرر متسلسلات فورييه (تكامل a_n = (2/π)∫₀^π|sin x|cos(2nx)dx باستخدام صيغ جداء الجيوب)؛ لا نعيد كتابته كاملًا هنا — انظر المسألة 5 في §10 — بل بدلًا من ذلك نتحقق من النتيجة عدديًا أدناه، وهو أمر مقنع للفيزيائي لا يقل عن الاستنتاجات الورقية.

بالتعويض x = ωt/2 والضرب بـ 2g، نحصل على متسلسلة فورييه للإشارة الحقيقية:

التوافقيات تتلاشى كـ A_n ∼ 2g/(πn²) — بسرعة، لذا فحتى 5–6 توافقيات تعطي إعادة بناء شبه دقيقة للإشارة. أدناه — مقارنة بين السعات التحليلية وتحويل فورييه السريع (FFT) العددي لنقاط a(t)، وكيف تتقارب المجاميع الجزئية للمتسلسلة إلى المنحنى الدقيق:

الاستنتاج المنهجي الرئيسي: وجود توافقيات n·f في طيف التسارع لا يعني أن القرص يدور على عدة ترددات — هذا تأثير غير خطي بحت للانتقال من المتجه إلى المقدار. من المهم تذكر هذا عند المقارنة مع طيف البيانات الحقيقية: التوافقيات الإضافية بحد ذاتها — ليست شذوذًا، الشذوذ هو الانحراف عن السعات المتوقعة هنا A_n.

هذا النموذج — نقطة صفر مثالية: ω ثابتة، مستشعر نقطي تمامًا على نصف القطر R، محور مثالي، g متجانس. التسجيلات الحقيقية (مجلدات data_* والتحليل الطيفي في lomb_scargle_spectrum.py) ستنحرف عنها حتمًا، والانحرافات بذاتها تحمل معلومات:

• تموج على ω(t) — عدم مثالية المحرك — ستظهر كحزم جانبية حول التوافقيات n·f؛
• انحراف محور المستشعر بالنسبة لمستوى الدوران سيضيف مركبة ثالثة ويشوه السعات A_n;
• عدم تطابق A المقيس₀ مع المتوقع 4g/π — طريقة بسيطة وسريعة للتحقق من معايرة المستشعر ودقة R؛
• ضجيج المستشعر سيرفع أرضية الطيف بين التوافقيات، والتي تكون في النموذج المثالي صفرًا تمامًا.

الخطوة التالية — مطابقة هذا التنبؤ (شكل 4) على الطيف الحقيقي للعميل الدوار من التجربة ورؤية أين يختلفان.