derivada
La derivada de una función f en un punto x es el límite del cociente del incremento de la función Δf entre el incremento del argumento Δx, cuando Δx tiende a cero. Se denota f'(x) o df/dx. Si la función describe una distancia s(t), su primera derivada s'(t) es la velocidad instantánea, y la segunda s''(t) es la aceleración. Las reglas de derivación (suma, producto, función compuesta) permiten calcular derivadas analíticamente sin necesidad de calcular directamente el límite.
History
La idea surgió en el siglo XVII simultáneamente con Isaac Newton (como «fluxión», la velocidad de cambio) y Gottfried Leibniz (enfoque geométrico mediante tangentes). Posteriormente, Augustin-Louis Cauchy dio una definición rigurosa mediante límites.
How it works
Es como una fotografía con un tiempo de exposición muy corto: en lugar de un movimiento promedio borroso durante un segundo, vemos la posición instantánea. Matemáticamente, es el límite del cociente de un incremento muy pequeño de la función entre un incremento igualmente pequeño del argumento.
💡 La tasa de crecimiento de la población mundial en un momento dado es la derivada de la función «población total» respecto al tiempo. Los economistas usan la derivada para el concepto de coste marginal: cuánto aumentan los costes al producir una unidad adicional.