La derivada de una función f en un punto x es el límite del cociente del incremento de la función Δf entre el incremento del argumento Δx, cuando Δx tiende a cero. Se denota f'(x) o df/dx. Si la función describe una distancia s(t), su primera derivada s'(t) es la velocidad instantánea, y la segunda s''(t) es la aceleración. Las reglas de derivación (suma, producto, función compuesta) permiten calcular derivadas analíticamente sin necesidad de calcular directamente el límite.
Historia
En la década de 1660, Newton desarrolló su método de fluxiones, y Leibniz en la década de 1670 creó un formalismo independiente de diferenciales dx. Una larga disputa sobre la prioridad estimuló el desarrollo de las escuelas británica y continental. Augustin-Louis Cauchy en la década de 1820 dio una definición rigurosa ε-δ del límite, sobre la que se basa la definición moderna de derivada. Riemann introdujo el concepto de integral, cerrando la teoría.
Cómo funciona
La derivación es una operación lineal: (f+g)' = f'+g', (cf)' = cf'. Las fórmulas de las derivadas de funciones elementales (potencias, trigonométricas, exponenciales) se obtienen a partir de la definición mediante límites. Para la función compuesta se aplica la regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x). El aparato de las derivadas permite resolver problemas de optimización (igualando la derivada a cero), construir aproximaciones y estudiar la dinámica de sistemas físicos mediante las leyes de Newton, que se reducen a ecuaciones diferenciales.
En la práctica
Análisis del crecimiento de poblaciones, determinación del precio óptimo para maximizar beneficios y diseño de carreteras suaves: en todo ello se necesita la derivada.
Dato curioso
La tasa de crecimiento de la población mundial en un momento dado es la derivada de la función «población total» respecto al tiempo. Los economistas usan la derivada para el concepto de coste marginal: cuánto aumentan los costes al producir una unidad adicional.
Una multitud en la entrada de un pasillo estrecho no se comporta igual que en una sala espaciosa: a algunos los aprietan contra las paredes, a otros los empujan hacia adelante. Algo parecido ocurre cuando una partícula alargada se encuentra en un líquido repleto de mancuernas automotrices.
Dos corredores parten en una pista con pendiente variable. Uno sale antes, el otro después, y el juez mide sus velocidades sin saber que hubo diferencia en la salida. Algo parecido ocurre con las variantes del virus: los datos llegan con retraso, y si esos retrasos no son iguales, la estimación de la ventaja competitiva puede ser gravemente errónea.
En un observatorio silencioso, un espectrógrafo capta la luz de una estrella lejana. El instrumento la descompone en un arcoíris: el espectro. Las líneas del espectro se desplazan ligeramente de un lado a otro: una estrella invisible la hace tambalearse.
Se calienta un trozo de aleación de aluminio y, en silencio, cuenta su resistencia. Solo hay que saber escuchar esa historia en la forma en que el metal absorbe el calor.
La forma habitual de saber cuán resistente es una aleación es estirarla hasta que se rompa. Eso lleva tiempo y destruye la muestra.
Una placa delgada se coloca transversal al flujo de agua o aire. Detrás de ella nace una estela: una zona donde el flujo se enreda y se mezcla. Normalmente, esta estela se vuelve turbulenta cuando la velocidad del flujo es suficientemente alta, y la medida de esto es el número de Reynolds.
Cuando el agua hierve detrás de la popa de un barco, la energía del movimiento se convierte en calor a través de una cascada de remolinos. Medir directamente la rapidez con que ocurre esto es difícil: hay que seguir todos los remolinos a la vez. Por eso los científicos usan una simplificación: observan solo una componente de la velocidad en un punto.
El viento sopla de manera uniforme, pero de repente llega una ráfaga y las hojas se arremolinan. Dentro de esa ráfaga, la velocidad del aire no cambia suavemente, sino a saltos: unas veces hacia adelante, otras hacia los lados. Estos tirones raros y fuertes se denominan intermitencia, y son el gran enigma de la turbulencia.
