serie de Fourier

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La serie de Fourier es la representación de una función periódica f(x) con período T como una suma de funciones trigonométricas: f(x) = a0/2 + Σ[a_n cos(2π n x/T) + b_n sin(2π n x/T)]. Los coeficientes a_n y b_n se calculan como las proyecciones de la función sobre las correspondientes ondas coseno y seno, y muestran cuán fuerte es cada armónico en la señal original. La descomposición es posible gracias a la ortogonalidad de los senos y cosenos. Las series de Fourier son una poderosa herramienta para resolver ecuaciones diferenciales (por ejemplo, la ecuación del calor) y son la base del análisis espectral.

History

El matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier desarrolló este método a principios del siglo XIX mientras estudiaba cómo se propaga el calor en los cuerpos sólidos.

How it works

Imaginemos que nos balanceamos en un columpio: nuestro movimiento se repite (periódico). La serie de Fourier dice que ese movimiento se puede construir a partir de varios péndulos que oscilan a diferentes velocidades: uno lento, otro el doble de rápido, el tercero el triple, etc. Si elegimos correctamente las amplitudes (pesos) de estos péndulos, su suma reproduce nuestra trayectoria.

💡 Al descomponer una señal cuadrada en serie de Fourier, la suma de todos los armónicos impares produce una escalera que, al aumentar el número de términos, se aproxima al rectángulo, pero en los puntos de discontinuidad quedan «picos» de aproximadamente el 9% de la amplitud de la señal: este es el fenómeno de Gibbs, que ocurre en cualquier serie con discontinuidades.

La serie de Fourier clásica es la descomposición de una función f(x), integrable en el intervalo [-π, π], en un sistema ortogonal completo de funciones {1, cos(nx), sin(nx)}n∈N, que tiene la propiedad de la mejor aproximación en el sentido del error cuadrático medio. Los coeficientes se calculan mediante las fórmulas a_n = (1/π)∫ f(x) cos(nx) dx, b_n = (1/π)∫ f(x) sin(nx) dx. En forma compleja, esto equivale a la descomposición en exponenciales e^{inx}, lo que conecta la serie de Fourier con la transformada de Fourier. Para que la serie converja a f(x) en un punto x, es necesario que se cumplan las condiciones de Dirichlet (monotonía por partes y número finito de discontinuidades). En la práctica, se utiliza ampliamente la transformada rápida de Fourier (FFT), un algoritmo que permite calcular los coeficientes en O(N log N) operaciones. Las series de Fourier se generalizan a sistemas ortonormales arbitrarios en espacios de Hilbert, lo que se aplica en mecánica cuántica (descomposición de la función de onda en estados propios) y en el procesamiento de señales.

History

Los orígenes de la idea se remontan a Daniel Bernoulli (1753), quien representaba el movimiento de una cuerda como una suma de armónicos. Jean-Baptiste Joseph Fourier, en 1807, en una memoria sobre la conducción del calor, utilizó sistemáticamente series trigonométricas y propuso un método para calcular los coeficientes. Su obra «Teoría analítica del calor» (1822) consolidó este aparato, a pesar de las críticas de sus contemporáneos por falta de rigor. La teoría rigurosa de la convergencia fue construida por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1829, y posteriormente desarrollada por Riemann, Lebesgue y otros.

How it works

Al descomponer f(x), los armónicos con número n forman un espectro. Los n bajos corresponden a cambios lentos; los altos, a detalles rápidos. Las integrales para los coeficientes a_n y b_n son el producto escalar de la función con el coseno/seno; gracias a la ortogonalidad de la base ∫ cos(nx) cos(mx) = 0 para n≠m, cada armónico «extrae» solo su parte de la señal. La suma de todos los armónicos reproduce la función original en casi todas partes, y con un truncamiento finito se obtiene el mínimo error cuadrático medio. La transformada rápida de Fourier utiliza la simetría de las raíces complejas de la unidad, reduciendo recursivamente el cálculo de una DFT de N puntos a dos de N/2 puntos, lo que acelera drásticamente el procesamiento. En física, la descomposición en armónicos se emplea para el análisis de series temporales (astronomía), la composición modal de haces láser, el diagnóstico de plasmas y la resolución de la ecuación de Schrödinger.

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right)

f(x) es la función periódica con período T, a_0/2 es el valor medio de la función en un período, a_n y b_n son los coeficientes de Fourier, x es el argumento (por ejemplo, tiempo o coordenada), n es el número del armónico (entero).

a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) dx, \quad b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) dx

a_n y b_n son las amplitudes de las componentes coseno y seno del n-ésimo armónico respectivamente, T es el período de la función, f(x) es la función original, n es un entero (número de armónico). La integral se toma sobre un período completo.

Open problems & fun facts

Fenómeno de Gibbs: con un número finito de términos, en las discontinuidades quedan picos que no desaparecen al aumentar N; La descomposición de funciones que no cumplen las condiciones de Dirichlet puede divergir en puntos aislados; Necesidad de adaptación a señales no periódicas mediante la transformada de Fourier con ventana o wavelets

💡 El rápido algoritmo de Cooley-Tukey (1965) revolucionó el procesamiento digital; según algunas estimaciones, la FFT está entre los cinco algoritmos más utilizados en el mundo: cada vez que escuchas música o ves un video, la FFT está trabajando.

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