A Fourier series is a mathematical expansion of periodic functions into a sum of sine and cosine waves.La serie de Fourier es la representación de una función periódica f(x) con período T como una suma de funciones trigonométricas: f(x) = a0/2 + Σ[a_n cos(2π n x/T) + b_n sin(2π n x/T)]. Los coeficientes a_n y b_n se calculan como las proyecciones de la función sobre las correspondientes ondas coseno y seno, y muestran cuán fuerte es cada armónico en la señal original. La descomposición es posible gracias a la ortogonalidad de los senos y cosenos. Las series de Fourier son una poderosa herramienta para resolver ecuaciones diferenciales (por ejemplo, la ecuación del calor) y son la base del análisis espectral.
Los orígenes de la idea se remontan a Daniel Bernoulli (1753), quien representaba el movimiento de una cuerda como una suma de armónicos. Jean-Baptiste Joseph Fourier, en 1807, en una memoria sobre la conducción del calor, utilizó sistemáticamente series trigonométricas y propuso un método para calcular los coeficientes. Su obra «Teoría analítica del calor» (1822) consolidó este aparato, a pesar de las críticas de sus contemporáneos por falta de rigor. La teoría rigurosa de la convergencia fue construida por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1829, y posteriormente desarrollada por Riemann, Lebesgue y otros.
Al descomponer f(x), los armónicos con número n forman un espectro. Los n bajos corresponden a cambios lentos; los altos, a detalles rápidos. Las integrales para los coeficientes a_n y b_n son el producto escalar de la función con el coseno/seno; gracias a la ortogonalidad de la base ∫ cos(nx) cos(mx) = 0 para n≠m, cada armónico «extrae» solo su parte de la señal. La suma de todos los armónicos reproduce la función original en casi todas partes, y con un truncamiento finito se obtiene el mínimo error cuadrático medio. La transformada rápida de Fourier utiliza la simetría de las raíces complejas de la unidad, reduciendo recursivamente el cálculo de una DFT de N puntos a dos de N/2 puntos, lo que acelera drásticamente el procesamiento. En física, la descomposición en armónicos se emplea para el análisis de series temporales (astronomía), la composición modal de haces láser, el diagnóstico de plasmas y la resolución de la ecuación de Schrödinger.
Compresión de audio e imágenes (MP3, JPEG), análisis de vibraciones en estructuras, procesamiento de datos sísmicos y computación cuántica.
Al descomponer una señal cuadrada en serie de Fourier, la suma de todos los armónicos impares produce una escalera que, al aumentar el número de términos, se aproxima al rectángulo, pero en los puntos de discontinuidad quedan «picos» de aproximadamente el 9% de la amplitud de la señal: este es el fenómeno de Gibbs, que ocurre en cualquier serie con discontinuidades.
| \tilde{\kappa} | variable | Fourier transform of convergence — convergencia |
| \tilde{\kappa}_B | variable | Fourier transform of B-mode convergence — b mode convergence |
| \tilde{\gamma}_1 | variable | Fourier transform of first shear component — shear component |
| \tilde{\gamma}_2 | variable | Fourier transform of second shear component — shear component |
| k_1 | variable | First component of wave vector — wave vector component radian per metre |
| k_2 | variable | Second component of wave vector — wave vector component radian per metre |
| k | variable | Magnitude of wave vector — número de onda radian per metre |
| x_t | variable | value of the process at time t — time series value |
| x_{t-1} | variable | value of the process at previous time — time series value |
| \phi | variable | autoregressive coefficient — autoregressive coefficient |
| \epsilon_t | variable | white noise innovation at time t — noise term |
| \sigma^2 | variable | variance of the noise — varianza |
