integral
La integral definida ∫ₐᵇ f(x)dx da un número: el área del trapecio curvilíneo limitado por la gráfica de f(x), el eje x y las verticales x=a y x=b. Se define como el límite de las sumas integrales de Riemann: Σ f(ξᵢ)Δxᵢ cuando la longitud máxima de los segmentos de la partición tiende a cero. La integral indefinida es la familia de primitivas, es decir, funciones F tales que F'=f. La conexión la da la fórmula de Newton-Leibniz: ∫ₐᵇ f = F(b)−F(a).
History
Arquímedes calculó el área de un segmento de parábola mediante el método de exhaución, cercano a la integración. En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz redujeron independientemente la integración al cálculo de primitivas: este es el teorema fundamental del cálculo. Posteriormente, Bernhard Riemann dio una definición rigurosa mediante límites de sumas.
How it works
Es como rellenar una región con un mosaico: pequeñas teselas cubren casi exactamente la figura, y su área total es la magnitud buscada. Matemáticamente, es el límite de las sumas de las áreas de rectángulos cuando su número aumenta sin límite.
💡 El signo de la integral ∫ es una letra estilizada ſ (s larga), del latín summa, propuesto por Leibniz. A diferencia de la derivada, la integral suaviza la función: incluso una curva muy quebrada puede tener una función integral suave.