An integral is a mathematical object that generalizes the concept of area under a curve.La integral definida ∫ₐᵇ f(x)dx da un número: el área del trapecio curvilíneo limitado por la gráfica de f(x), el eje x y las verticales x=a y x=b. Se define como el límite de las sumas integrales de Riemann: Σ f(ξᵢ)Δxᵢ cuando la longitud máxima de los segmentos de la partición tiende a cero. La integral indefinida es la familia de primitivas, es decir, funciones F tales que F'=f. La conexión la da la fórmula de Newton-Leibniz: ∫ₐᵇ f = F(b)−F(a).
Eudoxo (c. 370 a.C.) y Arquímedes (287–212 a.C.) usaron el método de exhaución, el análogo antiguo de la integración. En el siglo XVII, los trabajos independientes de Newton y Leibniz consolidaron la integral como la operación inversa del diferencial. Riemann en 1854 dio la primera definición formal, y a principios del siglo XX Henri Lebesgue construyó la integral basada en la medida, resolviendo problemas fundamentales de intercambio entre límites e integrales.
Teorema fundamental del cálculo: si f es continua en [a,b] y F es cualquier primitiva suya, entonces ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a). El cálculo se reduce a encontrar la primitiva. Técnicas: cambio de variable, integración por partes (derivada del producto), descomposición en fracciones simples. Para integrandos complejos se aplican métodos numéricos (regla del trapecio, de Simpson) o transformadas de Fourier/Laplace.
Cálculo de la distancia recorrida a partir de la gráfica de velocidad, del área de una figura compleja, predicción de la dosis de radiación acumulada en materiales: todo mediante la integral.
El signo de la integral ∫ es una letra estilizada ſ (s larga), del latín summa, propuesto por Leibniz. A diferencia de la derivada, la integral suaviza la función: incluso una curva muy quebrada puede tener una función integral suave.
| i | variable | inclination angle of the orbital plane — inclination angle radian |
| b | variable | minor axis of the projected orbit — minor axis metre |
| a | variable | major axis of the projected orbit — major axis metre |
| cos | operador | cosine function — cosine function |
| N | variable | Number of tiles needed — count |
| A | variable | Total area to cover — área square metre |
| a | variable | Area of one tile — área square metre |
| ⌈ ⌉ | operador | Rounds up to the nearest integer — ceiling function |
| T | variable | tunneling probability — transmission probability |
| z1 | variable | left turning point of the barrier — posición metre |
| z2 | variable | right turning point of the barrier — posición metre |
| m | variable | mass of the tunneling particle — masa kilogram |
| V | variable | potential energy as a function of position — energía potencial joule |
| E | variable | energy of the particle — energía joule |
| ħ | constante | fundamental quantum of action divided by 2π — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| ∫ | operador | sums the integrand over the interval — integral |
| √ | operador | takes the non-negative root — raíz cuadrada |
| exp | operador | raises e to the given power — exponential |
| T_{\mu\nu} | variable | stress-energy tensor — stress energy tensor joule per metre cubed |
| k^\mu | variable | null vector — null vector |
| t | variable | time coordinate — tiempo second |
| f(t) | variable | sampling function — sampling function |
| C | variable | dimensionless constant — dimensionless constant |
| t_0 | variable | characteristic timescale — tiempo second |
| \int_{-\infty}^{\inf | operador | integration over all time — integral |
| DM | variable | Dispersion measure — medida de dispersión parsec per cubic centimetre |
| n_e | variable | Electron number density — densidad numérica de electrones per cubic metre |
| l | variable | Path length along line of sight — longitud metre |
| ∫ | operador | Integration along the line of sight — integral |
| kappa | variable | weak lensing convergence — convergencia |
| theta | variable | angular position on the sky — angular position radian |
| chi | variable | comoving distance to the source — comoving distance metre |
| chi' | variable | comoving distance along the line of sight — comoving distance metre |
| q | variable | lensing efficiency function — lensing efficiency |
| a | variable | scale factor — factor de escala |
| f_K | variable | comoving angular diameter distance — comoving angular diameter distance metre |
| delta | variable | matter density contrast — contraste de densidad |
| H_0 | constante | current expansion rate of the universe — constante de Hubble = 2.2e-18 per second |
| Omega_m | constante | ratio of matter density to critical density today — matter density parameter = 0.315 |
| c | constante | speed of light in vacuum — velocidad de la luz = 299792458 metre per second |
| ∫ | operador | summation over infinitesimal elements — integral |