límite
El límite de una función f(x) cuando x tiende a a es L si para cualquier ε positivo se puede encontrar un entorno del punto a tal que los valores de f(x) difieran de L en no más de ε, siempre que x esté en ese entorno (excepto posiblemente el propio punto a). Punto clave: no exigimos que f(a) exista o sea igual a L. El límite describe solo la tendencia, no el logro.
History
Intuitivamente, los límites ya se usaban en la Antigua Grecia: el método de exhaución de Arquímedes calculaba áreas de figuras curvilíneas. La definición rigurosa del límite con epsilon-delta apareció en el siglo XIX gracias a Augustin-Louis Cauchy y Karl Weierstrass.
How it works
Imagina una escalera que se aleja: cada paso mide la mitad del anterior. Nunca tocarás la pared del fondo, pero con cada paso la distancia a ella se vuelve menor que cualquier número preestablecido. Matemáticamente, esto es un límite: proximidad garantizada sin necesidad de contacto.
💡 Mucho antes de la formalización, Zenón de Elea formuló la paradoja de Aquiles y la tortuga: Aquiles nunca alcanza a la tortuga, porque cada vez reduce la distancia en una fracción. La explicación moderna de la paradoja se basa precisamente en el concepto de límite: la suma de infinitos segmentos puede dar un tiempo finito.