El límite de una función f(x) cuando x tiende a a es L si para cualquier ε positivo se puede encontrar un entorno del punto a tal que los valores de f(x) difieran de L en no más de ε, siempre que x esté en ese entorno (excepto posiblemente el propio punto a). Punto clave: no exigimos que f(a) exista o sea igual a L. El límite describe solo la tendencia, no el logro.
Historia
La noción intuitiva de límite apareció en la antigüedad en los trabajos de Eudoxo y Arquímedes (método de exhaución). En el siglo XVII, Newton y Leibniz usaron infinitesimales («fluxiones» y «diferenciales») para crear el cálculo, pero fueron criticados por falta de rigor. Augustin-Louis Cauchy en 1821 propuso la definición en términos de ε-δ, posteriormente refinada por Weierstrass. Esto puso fin a la era de los infinitesimales y dio fundamento al análisis moderno.
Cómo funciona
La definición clásica ε-δ formaliza la intuición de «aproximación sin alcance». En la práctica, para calcular límites se utilizan transformaciones algebraicas, el teorema del emparedado (de los dos gendarmes), la regla de L'Hôpital (para indeterminaciones) o estimaciones asintóticas. Los límites son indispensables para definir la continuidad (f es continua en c si lim_{x→c} f(x)=f(c)), la derivada ( lim_{h→0} (f(x+h)−f(x))/h ) y la integral de Riemann ( lim_{n→∞} Σ f(x_i^*)Δx ). En el análisis funcional, el límite se generaliza a espacios normados.
En la práctica
Sin límite no se puede calcular la velocidad instantánea de un automóvil a partir del cambio de coordenadas: los navegadores GPS y los pilotos automáticos se basan constantemente en este concepto.
Dato curioso
Mucho antes de la formalización, Zenón de Elea formuló la paradoja de Aquiles y la tortuga: Aquiles nunca alcanza a la tortuga, porque cada vez reduce la distancia en una fracción. La explicación moderna de la paradoja se basa precisamente en el concepto de límite: la suma de infinitos segmentos puede dar un tiempo finito.
Una partícula está en un pozo de energía, como un guisante en un hoyuelo. Para salir, necesita superar una barrera, y normalmente eso ocurre rara vez: cuanto más alta es la barrera, más hay que esperar. La ley de Arrhenius dice que el tiempo de espera crece exponencialmente, es decir, duplicar la altura de la barrera aumenta el tiempo cientos de veces.
El dibujo helado en el cristal de la ventana no se extiende de manera uniforme: brota en ramas, conquista nuevas zonas, a veces dejando huecos atrás. Este crecimiento no es una expansión suave, sino una serie de tirones. Esta imagen resuena de forma asombrosa con el modelo matemático ideado por Charles Loewner hace un siglo.
Cuando la mano traza una línea, la mirada casi siempre va por delante, como un explorador que se asoma a la curva antes de que la columna doble. Pero, ¿cuánto se adelanta? Resulta que cada persona tiene su propia distancia, y no cambia de un intento a otro.
La niebla se espesa sobre la línea «def max(a: Int, b: Int): Int». ¿Qué hace? Devuelve el mayor de dos números, pero ¿cómo comprobarlo? Se pueden escribir una docena de pruebas con pares concretos: max(2,3)=3, max(5,5)=5, max(-1,0)=0. Y aun así queda la inquietud: ¿y si para algún millón y menos un millón falla?
