Nota de trabajo · hidrodinámica · parte IX
Ecuación de Bernoulli: por qué un flujo rápido presiona menos
Un hecho contraintuitivo sobre el que se sostiene la mitad de la aviación y toda la industria de la perfumería: donde un líquido o gas se acelera, la presión alrededor disminuye, no aumenta.
Daniel Bernoulli dedujo en 1738 la ecuación de conservación de la energía para un fluido en movimiento: a lo largo de una línea de corriente, la suma de la presión, la energía cinética y la potencial (por unidad de volumen) permanece constante. Consecuencia directa: donde el flujo se acelera (tubo que se estrecha), la presión estática debe caer. Este mismo principio explica los pulverizadores, carburadores y (con importantes reservas) la sustentación del ala. En esta nota: deducción de la ecuación, tubo de Venturi con números y un análisis honesto de lo que Bernoulli explica en el vuelo del avión y lo que no.
La ecuación en pocas palabras
| Término | Significado |
|---|---|
| P | presión estática — lo que mostraría un manómetro que se mueve con el flujo |
| ½ρv² | «presión dinámica» — energía de movimiento referida al volumen |
| ρgh | «presión hidrostática» — energía de altura (como en la ley de Arquímedes, parte VIII) |
Las tres salvedades de la definición no son letra pequeña, sino justo las condiciones en las que la ley funciona exactamente: flujo estacionario (la imagen del flujo no cambia con el tiempo), no viscoso (sin fricción interna), incompresible (densidad constante). Para el agua casi siempre es una buena aproximación; para el aire a velocidades subsónicas altas también es bastante buena, pero no perfecta (§6).
De dónde viene: la energía del flujo
La ecuación de Bernoulli no es una nueva ley de la naturaleza, sino la ley de conservación de la energía (parte II) aplicada a un pequeño volumen de fluido que se mueve a lo largo de una línea de corriente. Cada término es un tipo de energía por unidad de volumen:
- ½ρv² — análogo directo de la energía cinética ½mv², solo que en lugar de masa m tenemos densidad ρ (masa por unidad de volumen).
- ρgh — análogo de la energía potencial mgh, con el mismo recurso (m → ρ).
- P — «energía de presión»: trabajo que realizan las capas vecinas del fluido al empujar el volumen hacia adelante.
Si el fluido fluye horizontalmente (h no cambia) y se acelera, el término cinético ½ρv² crece; y como la suma debe permanecer constante, el término P obligatoriamente cae. No es nada exótico, sino simple contabilidad de energía: la velocidad «toma prestada» energía de la presión.
Estrechamiento del tubo: tubo de Venturi
Antes de calcular la presión, se necesita la velocidad en la parte estrecha; la da otra ley más simple:ecuación de continuidad (el fluido no puede «acumularse» dentro del tubo; lo que entra, sale):
Ejemplo numérico: la parte ancha del tubo es 4 veces más ancha que la estrecha (en área de sección), agua (ρ = 1000 kg/m³) fluye en la parte ancha a v₁ = 2 m/s. El tubo es horizontal (h no varía).
Ahora la caída de presión según Bernoulli (h no cambia, el término ρgh se cancela en ambos lados):
¡La presión en la parte estrecha es menor que en la ancha por nada menos que 30 kilopascales, casi un tercio de la presión atmosférica! Justo con este principio (tubo de Venturi) funcionan los carburadores, aerógrafos y nebulizadores médicos: el canal estrecho crea una zona local de baja presión que aspira el líquido por un orificio lateral.
Ala de avión — no tan sencillo
Explicación popular de la sustentación: «el ala está curvada arriba, el aire por encima corre más rápido, así que la presión allí es menor, el ala es empujada hacia arriba». Esta dirección del razonamiento es cualitativamente correcta (más rápido arriba → presión menor arriba → hay sustentación), pero el fundamento concreto, a menudo repetido, de «por qué el aire corre más rápido arriba» es un mito.
A menudo se dice: «las partículas de aire arriba y abajo del ala deben encontrarse al mismo tiempo en el borde de salida, y como el camino de arriba es más largo, la velocidad es mayor». Eso es incorrecto: experimentalmente las partículas NO se encuentran al mismo tiempo; el flujo sobre el ala adelanta a su par de abajo con bastante margen. La verdadera razón de la mayor velocidad superior es que la forma del ala y el ángulo de ataque crean una circulación del flujo alrededor de todo el perfil (resultado de la viscosidad del aire cerca de la superficie y la condición de Kutta en el borde de salida) — un efecto considerablemente más sutil que «camino más largo → más rápido».
La ecuación de Bernoulli aquí es una HERRAMIENTA correcta de cálculo (si hay diferencia de velocidades, habrá diferencia de presiones), pero no explica de dónde sale esa diferencia de velocidades. La explicación completa de la sustentación requiere también la tercera ley de Newton: el ala desvía el flujo de aire hacia abajo (downwash), y por acción-reacción el aire empuja el ala hacia arriba. Ambas descripciones (energética por Bernoulli e impulsiva por Newton) son mutuamente consistentes y juntas dan el cuadro completo.
Ejemplo transversal: tubo de Pitot
Los aviones miden la velocidad respecto al aire con un tubo de Pitot: compara la presión en dos puntos: donde el flujo se frena a cero (en la punta del tubo, «punto de remanso») y donde fluye libremente.
Ejemplo numérico: el sensor marca una diferencia de presión ΔP = 250 Pa, densidad del aire ρ ≈ 1.25 kg/m³. ¿Cuál es la velocidad del avión respecto al aire?
≈72 km/h — velocidad modesta (avión ligero en despegue), pero el método es el mismo para cualquier velocidad hasta cerca de la del sonido, donde la fórmula debe corregirse por compresibilidad del aire (§6).
Hacia dónde conduce: límites de aplicabilidad
Las tres suposiciones del §1 no son formalidades.Viscosidad de los fluidos reales disipa parte de la energía en calor a lo largo del tubo (de ahí la caída de presión en tuberías largas incluso SIN estrechamiento; la ecuación de Bernoulli en su forma pura no describe esto, se requieren correcciones por fricción).Compresibilidad se vuelve relevante para gases a velocidades comparables a la del sonido (número de Mach acercándose a 1); entonces se necesita una dinámica de gases más completa.Turbulencia directamente hace que el flujo no sea estacionario a pequeñas escalas; la ecuación es válida para magnitudes promediadas, no instantáneas.
La ecuación de Bernoulli es un caso particular, muy simplificado, de las mucho más generales ecuaciones de Navier-Stokes, que describen el flujo de fluidos viscosos reales. Su solución analítica exacta en el caso general es uno de los siete «problemas del milenio» (Instituto Clay de Matemáticas, $1 000 000 por la demostración de existencia y suavidad de las soluciones) y sigue sin resolverse, aunque los ingenieros calculan numéricamente los flujos perfectamente sin esperar a los matemáticos.
En el sitio esto es una ley aparte, si se quiere profundizar:
Experimento en casa
Tome dos hojas de papel, cuélguelas paralelas entre sí a una distancia de 3-4 cm (puede simplemente sujetar los bordes superiores con las dos manos) y sople entre ellas, justo en el espacio.
Qué observar las hojas se ATRAERÁN MUTUAMENTE, en lugar de separarse como intuitivamente se esperaría. El aire entre las hojas se acelera; según Bernoulli, la presión allí cae por debajo de la atmosférica externa, y la presión exterior literalmente las aprieta hacia dentro, una contra otra.
Dirija un secador de pelo (o aspiradora en modo soplado) verticalmente hacia arriba y coloque con cuidado una pelota ligera de ping-pong en el chorro de aire, encima, y suéltela.
Qué observar la pelota queda suspendida en el aire, oscilando ligeramente, y no se sale del chorro hacia los lados. Tan pronto como se desplaza hacia el borde del chorro, el aire alrededor se mueve más lento (presión atmosférica normal) y la presión más alta del exterior «empuja» la pelota de vuelta al centro del flujo rápido, donde la presión es menor. El mismo principio que mantiene juntas las dos hojas en el experimento anterior.
Ejercicios de comprobación
Primero piense usted mismo y luego abra la solución. La solución sigue siempre el esquema:Dado → Ley → Solución → Respuesta.
1. Agua fluye por un tubo horizontal que se estrecha al triple en área de sección. La velocidad en la parte ancha es 3 m/s. Halle la velocidad en la parte estrecha.
Dado A₁/A₂ = 3, v₁ = 3 m/s.
Ley ecuación de continuidad (§3): A₁v₁ = A₂v₂.
Solución v₂ = v₁·(A₁/A₂) = 3·3 = 9 m/s.
Respuesta 9 m/s.
2. En el problema anterior, halle la caída de presión entre la parte ancha y la estrecha (agua, ρ = 1000 kg/m³).
Dado v₁ = 3 m/s, v₂ = 9 m/s, ρ = 1000 kg/m³.
Ley ecuación de Bernoulli para tubo horizontal (§3): ΔP = ½ρ(v₂²−v₁²).
Solución ΔP = 0.5·1000·(81−9) = 500·72 = 36 000 Pa.
Respuesta 36 kPa.
3. Un tubo de Pitot muestra una diferencia de presión de 500 Pa en aire de densidad 1.25 kg/m³. Halle la velocidad.
Dado ΔP = 500 Pa, ρ = 1.25 kg/m³.
Ley fórmula del tubo de Pitot (§5): v = √(2ΔP/ρ).
Solución v = √(2·500/1.25) = √800 ≈ 28.3 m/s.
Respuesta ≈28.3 m/s (≈102 km/h).
4. ¿Es cierto que «las partículas de aire arriba y abajo del ala del avión se encuentran simultáneamente en el borde de salida»? ¿Cómo se relaciona esto con el mecanismo real de sustentación?
Ley §4 — desmontaje del mito del tiempo igual.
Solución no, es un error muy extendido: experimentalmente las partículas NO se encuentran al mismo tiempo, el flujo de arriba llega antes. La verdadera causa de la diferencia de velocidades es la circulación alrededor del perfil alar (efecto de la viscosidad y condición de Kutta en el borde de salida), y no el «camino más largo arriba».
Respuesta mito, incorrecto — Bernoulli calcula CORRECTAMENTE la presión a partir de una diferencia de velocidades ya conocida, pero no explica de dónde surge esa diferencia.
5. ¿Por qué la ecuación de Bernoulli en su forma básica no predice la caída de presión a lo largo de un tubo LARGO de SECCIÓN CONSTANTE, aunque en la práctica se observa?
Ley limitaciones de aplicabilidad (§6) — suposición de «fluido no viscoso».
Solución la ecuación básica de Bernoulli se deduce para un fluido IDEAL (no viscoso), donde la energía a lo largo de la línea de corriente no se pierde. En tubos reales, la fricción viscosa contra las paredes convierte gradualmente parte de la energía del flujo en calor; esta pérdida no está incluida en la simple fórmula P+½ρv²+ρgh=const, de ahí la caída de presión observada en la práctica incluso sin cambio de sección.
Respuesta viscosidad — los fluidos reales no son ideales, la energía se disipa en calor, cosa que la ecuación básica no contempla.
Errata, fórmula incorrecta, número que no cuadra, explicación torpe — escríbenos: feedback@bridge42worlds.org. Cada mensaje se lee realmente, se analiza y se corrige en consecuencia — no es «en saco roto».