Nota de trabajo · mecánica de medios continuos · parte VIII
Elasticidad y flotación: ley de Hooke y principio de Arquímedes
Dos leyes sobre cómo la materia «se resiste» — al estiramiento de un resorte y a la inmersión en un líquido — y ambas se reducen a una matemática lineal sorprendentemente simple.
Robert Hooke en la década de 1660 descubrió que los resortes (y en general los cuerpos elásticos) resisten la deformación proporcionalmente a su magnitud: una relación lineal sencilla que subyace en la teoría de la elasticidad, desde colchones hasta rascacielos. Arquímedes, dos milenios antes, descubrió otra ley también lineal: el fluido empuja un cuerpo sumergido con una fuerza igual al peso del volumen desalojado. En esta nota, ambas leyes con ejemplos numéricos y un experimento continuo que las une en una sola medición.
Dos fuerzas de resistencia
| Ley | Fórmula | De qué trata |
|---|---|---|
| Hooke | F = −kx | la fuerza elástica crece linealmente con el desplazamiento |
| Arquímedes | F = ρgV | la fuerza de flotación es igual al peso del líquido desplazado |
A primera vista fenómenos distintos, pero ambos describen cómo un medio (resorte, líquido) «responde» al intento de cambiar su estado, y en ambos casos la respuesta es sorprendentemente simple: lineal respecto al desplazamiento o lineal respecto al volumen. La simplicidad de estas leyes no es casualidad, sino consecuencia de que ambos fenómenos se analizan en régimen de perturbaciones pequeñas y «suaves», donde la compleja física microscópica se promedia a una sola constante (k o ρ).
Ley de Hooke: el resorte cuenta linealmente
Formulación.La fuerza elástica es proporcional a la deformación y se opone a ella:
Ejemplo numérico: un resorte de rigidez k = 200 N/m se estira x = 0.05 m. ¿Cuál es la fuerza elástica resultante?
El signo menos en la fórmula recuerda: la fuerza SIEMPRE tiende a devolver el cuerpo al equilibrio — si el resorte está estirado, tira hacia atrás; si está comprimido, empuja hacia adelante. Precisamente esta naturaleza «restauradora» convierte al resorte en un oscilador armónico clásico: suelte la masa y oscilará de un lado a otro (con fricción, amortiguándose gradualmente).
Del resorte al sólido
La misma ley lineal funciona no solo para resortes helicoidales: cualquier sólido bajo pequeña deformación se comporta como un resorte, solo que la constante de rigidez se reemplaza por una propiedad del material: el módulo de Young E:
| Material | Módulo de Young E, Pa |
|---|---|
| Caucho | ∼10⁶ |
| Madera | ∼10⁹ |
| Acero | ∼2×10¹¹ |
El acero es «más rígido» que el caucho aproximadamente 200 000 veces, pero ambos, dentro de pequeñas deformaciones, obedecen exactamente la misma ley lineal. Los rascacielos se balancean con el viento centímetros y vuelven a su posición original precisamente gracias a esta elasticidad: si el acero no cumpliera la ley de Hooke, los edificios altos serían o peligrosamente frágiles o simplemente no podrían existir.
La linealidad es una aproximación válida solo hasta el límite de elasticidad. Si estira demasiado un resorte, o bien no volverá a su forma original (deformación plástica) o se romperá. Los ingenieros estructurales siempre incorporan un margen de seguridad precisamente porque más allá del límite, la ley de Hooke deja de predecir el comportamiento del material.
Ley de Arquímedes: el peso del fluido desplazado
Formulación.Sobre un cuerpo sumergido en un líquido (o gas) actúa una fuerza de flotación igual al peso del volumen desalojado:
Ejemplo numérico: un cuerpo de volumen V = 0.002 m³ (2 litros) completamente sumergido en agua (ρ = 1000 kg/m³, g ≈ 10 m/s²). Calcule la fuerza de flotación.
Si el cuerpo flota o se hunde lo decide la comparación con la fuerza de gravedad: si el peso del cuerpo es menor que Fempuje cuando está completamente sumergido, el cuerpo flota (y se sumerge solo parcialmente hasta que los pesos se equilibran); si es mayor, se hunde.
El acero es casi 8 veces más denso que el agua (ρacero ≈ 7800 kg/m³ frente a 1000 del agua): un trozo de acero arrojado al agua se hunde inmediatamente. Pero el CASCO de un barco es principalmente aire rodeado de una delgada carcasa de acero: la densidad promedio de toda la estructura (acero + aire interior) es mucho menor que la densidad del agua. Lo que importa no es la densidad del material, sino la densidad promedio de TODO el volumen que desplaza.
Ejemplo integral: areómetro con balanza de resorte
Unamos ambas leyes en un experimento clásico: una masa colgada de una balanza de resorte (ley de Hooke — por la extensión del resorte leemos la fuerza), primero en el aire, luego sumergida en agua.
En el aire, el resorte se estira x₁ = 0.05 m con rigidez k = 1000 N/m — por tanto, el peso real de la masa:
Sumergimos la masa completamente en agua — el resorte se acorta hasta x₂ = 0.03 m (peso aparente Pap = 1000·0.03 = 30 N). La diferencia es la medida directa de la fuerza de flotación:
Y de Fempuje = ρgV se puede calcular inmediatamente el volumen de la masa sin medir con regla:
Este es exactamente el mismo método con el que (según la leyenda) Arquímedes atrapó al joyero: medir el volumen de un cuerpo de forma compleja mediante el desplazamiento, sin desmontarlo — solo que aquí la balanza de resorte lo hace incluso sin bañera que se desborde.
Hacia dónde lleva esto: resortes atómicos y presión
La ley de Hooke no es solo una aproximación conveniente para ingenieros, sino una consecuencia de que los enlaces químicos entre los átomos de un sólido se comportan como diminutos resortes: ante un pequeño desplazamiento del átomo de su posición de equilibrio, la energía potencial del enlace crece cuadráticamente (como en un resorte ideal), por lo tanto la fuerza restauradora es lineal, justo la ley de Hooke. El módulo de Young E es un promedio macroscópico de la rigidez de miles de millones de tales enlaces atómicos.
La ley de Arquímedes, a su vez, es una consecuencia directa de que la presión en un fluido aumenta con la profundidad (una columna de líquido más alta ejerce más presión). La diferencia de presión entre las caras inferior y superior del cuerpo sumergido crea una fuerza neta hacia arriba: no es un postulado separado, sino una consecuencia de las leyes de la hidrostática. Una conexión más profunda de estas mismas ideas con el flujo de fluidos se encuentra en la próxima nota de la serie, sobre la ecuación de Bernoulli.
En el sitio son leyes separadas, si quieres profundizar:
Experimento en casa
Tome una banda elástica de oficina, marque su longitud original, cuélguele una masa conocida (por ejemplo, una bolsita con monedas) y mida cuánto se alarga. Añada el doble de monedas.
Qué observar con el doble de carga, la banda se estirará aproximadamente el doble (siempre que no se supere el límite elástico de la goma): comprobación directa de la ley de Hooke con medios caseros: F ∝ x.
Sumerja un huevo crudo en un vaso con agua del grifo: se hundirá. Luego disuelva en el agua varias cucharadas de sal (remueva hasta que no se disuelva más) y vuelva a sumergir el huevo.
Qué observar en agua salada el huevo flota (o queda suspendido en el agua): la sal disuelta aumenta la densidad del agua ρ, y por tanto la fuerza de flotación Fempuje = ρgV para el mismo volumen del huevo, hasta que iguala al peso del huevo. El mismo efecto mantiene a los bañistas en la superficie del Mar Muerto sin esfuerzo.
Problemas de verificación
Primero piense por su cuenta, luego abra la solución. La solución sigue en todas partes el esquema: Dado → Ley → Solución → Respuesta.
1. Un resorte de rigidez 300 N/m se estira con una fuerza de 15 N. ¿Cuánto se alargó?
Dado k = 300 N/m, F = 15 N.
Ley ley de Hooke (§2): F = kx.
Solución x = F/k = 15/300 = 0.05 m.
Respuesta 5 cm.
2. Un cubo de volumen 0.001 m³ (10×10×10 cm) está completamente sumergido en aceite de densidad 800 kg/m³. Calcule la fuerza de flotación.
Dado V = 0.001 m³, ρ = 800 kg/m³, g ≈ 10 m/s².
Ley ley de Arquímedes (§4): Fempuje = ρgV.
Solución Fempuje = 800·10·0.001 = 8 N.
Respuesta 8 N.
3. Un bloque de madera de masa 0.72 kg y volumen 0.001 m³ se echa al agua (densidad 1000 kg/m³). ¿Flotará o se hundirá? (g ≈ 10 m/s²)
Dado m = 0.72 kg, V = 0.001 m³, ρagua = 1000 kg/m³.
Ley comparación del peso del cuerpo P = mg con la fuerza de flotación máxima Fempuje = ρgV (§4) — equivalente a comparar densidades.
Solución ρbloque = m/V = 0.72/0.001 = 720 kg/m³ < 1000 kg/m³.
Respuesta flotará — la densidad del bloque es menor que la del agua (típico de la madera).
4. Una balanza de resorte en el aire indica un peso de 80 N, y tras sumergir la masa en agua, 60 N. Calcule el volumen de la masa (ρ agua = 1000 kg/m³, g ≈ 10 m/s²).
Dado P = 80 N, Pap = 60 N.
Ley método §5: Fempuje = P − Pap, luego V = Fempuje/(ρg).
Solución Fempuje = 80 − 60 = 20 N; V = 20/(1000·10) = 0.002 m³.
Respuesta 0.002 m³ (2 litros) — el volumen se midió sin una sola medición directa con regla.
5. ¿Por qué al estirar demasiado un resorte la ley de Hooke deja de predecir su comportamiento? ¿Qué sucede a nivel atómico?
Ley límite elástico (§3, §6).
Solución la ley de Hooke es válida mientras el desplazamiento de los átomos respecto a la posición de equilibrio es pequeño y la energía potencial del enlace se aproxima bien por una parábola (función cuadrática). Con grandes desplazamientos, la forma real del potencial se desvía de la parábola, los enlaces comienzan a romperse o reorganizarse irreversiblemente (deformación plástica), y la dependencia lineal F de x deja de funcionar.
Respuesta los enlaces atómicos salen de la región donde el potencial se asemeja a una parábola — la aproximación en que se basa la ley de Hooke deja de ser precisa.
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