Notez une recette, puis comparez-la une heure plus tard : si les proportions ont dévié ne serait-ce que d'un gramme, le goût a disparu. C'est à peu près ainsi que se comportent les réactions chimiques dans les systèmes ouverts : la moindre différence dans les concentrations initiales grandit avec le temps jusqu'à produire des états complètement différents. Voilà ce qu'est le chaos, et dans une éprouvette il se manifeste par des oscillations imprévisibles de couleur ou de température.
À l'échelle des molécules individuelles, tout change : les réactions se produisent comme des collisions aléatoires, et dans un petit volume le comportement du système est décrit par l'équation maîtresse chimique, autrement dit une règle qui dit comment évoluent les probabilités de trouver tel ou tel nombre de molécules. Cette description stochastique reste valable même lorsque les équations macroscopiques manifestent du chaos. Mais comment relier le caractère aléatoire des molécules au chaos déterministe d'une grande éprouvette ?
La réponse est venue de l'information mutuelle, une mesure de la mémoire que l'état actuel du système garde de son état initial. Si cette mémoire s'efface vite, le système se mélange vite. Or il s'est avéré que la vitesse de cette perte de mémoire, calculée à partir de l'équation maîtresse, converge dans la limite des grands volumes vers l'entropie de Kolmogorov-Sinaï, une grandeur qui, pour le modèle déterministe, est égale à la somme des exposants de Lyapunov positifs. Autrement dit, la vitesse à laquelle des trajectoires voisines s'écartent dans le modèle macroscopique est exactement égale à la vitesse d'effacement de l'information dans le modèle stochastique.
Les simulations numériques d'un système à trois substances et sept réactions l'ont confirmé : pour un volume allant de 10^2 à 10^6 molécules, un régime intermédiaire apparaissait, où l'information mutuelle décroissait presque linéairement, et la pente de cette droite tendait vers la valeur de 0.065, exactement l'entropie de Kolmogorov-Sinaï du modèle déterministe. C'est comme si le bruit des réactions aléatoires dans une petite éprouvette s'atténuait peu à peu, laissant place au chaos pur du grand système.
Ce travail jette le premier pont explicite entre deux descriptions : l'équation maîtresse stochastique et le chaos déterministe. On ne savait pas jusqu'ici comment relier ces niveaux ; nous savons désormais que la perte d'information sur l'état initial est précisément le fil qui relie le caractère aléatoire moléculaire à l'imprévisibilité macroscopique. Cette approche pourrait servir à analyser d'autres systèmes à fluctuations internes, où il faut distinguer le vrai chaos d'un simple bruit.
L'entropie de Kolmogorov-Sinaï du modèle CS14 modifié vaut 0.065, ce qui correspond à un temps de doublement de l'incertitude d'environ 10.7 unités de temps. Pour un volume V=10^6, le temps de croisement au-delà duquel l'approximation gaussienne est mise en défaut est estimé à t_c ≈ (1/0.065) ln(10^6) ≈ 212 unités de temps.