ряд Фурье
Ряд Фурье — представление периодической функции f(x) с периодом T в виде суммы тригонометрических функций: f(x) = a0/2 + Σ[a_n cos(2π n x/T) + b_n sin(2π n x/T)]. Коэффициенты a_n и b_n вычисляются как проекции функции на соответствующие косинусные и синусные волны и показывают, насколько сильно каждая гармоника выражена в исходном сигнале. Разложение возможно благодаря ортогональности синусов и косинусов. Ряды Фурье являются мощным средством решения дифференциальных уравнений (например, уравнения теплопроводности) и лежат в основе спектрального анализа.
История
Французский математик Жан-Батист Жозеф Фурье разработал этот метод в начале XIX века, изучая, как распространяется тепло в твёрдых телах.
Как работает
Представим, что мы качаемся на качелях: наше движение повторяется (периодическое). Ряд Фурье говорит: такое движение можно собрать из нескольких маятников, качающихся с разной скоростью — один медленный, другой вдвое быстрее, третий втрое и так далее. Если правильно подобрать амплитуды (веса) этих маятников, они в сумме дадут нашу траекторию.
💡 При разложении прямоугольного сигнала в ряд Фурье сумма всех нечётных гармоник даёт лестницу, которая при увеличении числа членов приближается к прямоугольнику, но у точек разрыва остаются «всплески» высотой около 9% от амплитуды сигнала — это явление Гиббса, возникающее в любых рядах с разрывами.