Ряд Фурье — это математическое разложение периодических функций в сумму синусоидальных и косинусоидальных волн.Ряд Фурье — представление периодической функции f(x) с периодом T в виде суммы тригонометрических функций: f(x) = a0/2 + Σ[a_n cos(2π n x/T) + b_n sin(2π n x/T)]. Коэффициенты a_n и b_n вычисляются как проекции функции на соответствующие косинусные и синусные волны и показывают, насколько сильно каждая гармоника выражена в исходном сигнале. Разложение возможно благодаря ортогональности синусов и косинусов. Ряды Фурье являются мощным средством решения дифференциальных уравнений (например, уравнения теплопроводности) и лежат в основе спектрального анализа.
Истоки идеи восходят к Даниилу Бернулли (1753), который представлял движение струны суммой гармоник. Жан-Батист Жозеф Фурье в 1807 году в мемуаре о теплопроводности систематически использовал тригонометрические ряды и предложил метод вычисления коэффициентов. Его работа «Аналитическая теория тепла» (1822) утвердила этот аппарат, несмотря на критику современников за недостаточную строгость. Строгая теория сходимости была построена Петером Густавом Лежёном Дирихле в 1829 году, а впоследствии развита Риманом, Лебегом и другими.
При разложении f(x) гармоники с номерами n образуют спектр. Низкие n соответствуют медленным изменениям, высокие — быстрым деталям. Интегралы для коэффициентов a_n и b_n — это скалярное произведение функции и косинуса/синуса; благодаря ортогональности базиса ∫ cos(nx) cos(mx) = 0 при n≠m, каждая гармоника «вынимает» только свою часть сигнала. Сумма всех гармоник даёт исходную функцию почти всюду, а при конечном усечении обеспечивает минимальную среднеквадратичную ошибку. Быстрое преобразование Фурье использует симметрию комплексных корней из единицы, рекурсивно сводя вычисление N-точечного ДПФ к двум N/2-точечным, что радикально ускоряет обработку. В физике разложение по гармоникам используется для анализа временных рядов (астрономия), модового состава лазерных пучков, диагностики плазмы и решения уравнений Шрёдингера.
Сжатие аудио и изображений (MP3, JPEG), анализ вибраций в конструкциях, обработка сейсмических данных и квантовые вычисления.
При разложении прямоугольного сигнала в ряд Фурье сумма всех нечётных гармоник даёт лестницу, которая при увеличении числа членов приближается к прямоугольнику, но у точек разрыва остаются «всплески» высотой около 9% от амплитуды сигнала — это явление Гиббса, возникающее в любых рядах с разрывами.
| \tilde{\kappa} | переменная | Преобразование Фурье сходимости — сходимость |
| \tilde{\kappa}_B | переменная | Преобразование Фурье B-моды сходимости — b mode convergence |
| \tilde{\gamma}_1 | переменная | Преобразование Фурье первой компоненты сдвига — shear component |
| \tilde{\gamma}_2 | переменная | Преобразование Фурье второй компоненты сдвига — shear component |
| k_1 | переменная | Первая компонента волнового вектора — wave vector component рад/м |
| k_2 | переменная | Вторая компонента волнового вектора — wave vector component рад/м |
| k | переменная | Модуль волнового вектора — волновое число рад/м |
| x_t | переменная | значение процесса в момент времени t — time series value |
| x_{t-1} | переменная | значение процесса в предыдущий момент времени — time series value |
| \phi | переменная | коэффициент авторегрессии — autoregressive coefficient |
| \epsilon_t | переменная | инновация белого шума в момент времени t — noise term |
| \sigma^2 | переменная | дисперсия шума — дисперсия |
