интеграл
Определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x)dx задаёт число — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком f(x), осью x и вертикалями x=a и x=b. Он определяется как предел интегральных сумм Римана: Σ f(ξᵢ)Δxᵢ при стремлении максимальной длины отрезков разбиения к нулю. Неопределённый интеграл — семейство первообразных, т.е. функций F таких, что F'=f. Связь даёт формула Ньютона–Лейбница: ∫ₐᵇ f = F(b)−F(a).
История
Архимед вычислял площадь сегмента параболы методом исчерпывания, близким к интегрированию. В XVII веке Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо свели интегрирование к нахождению первообразной — это фундаментальная теорема анализа. Позднее Бернхард Риман дал строгое определение через пределы сумм.
Как работает
Это похоже на заполнение фигурной области мозаикой: крошечные плиточки почти точно покрывают фигуру, а их суммарная площадь — искомая величина. Математически — предел сумм площадей прямоугольников при неограниченном увеличении их числа.
💡 Знак интеграла ∫ — стилизованная буква ſ (долгая s), от латинского summa, предложенная Лейбницем. В отличие от производной, интеграл сглаживает функцию: даже сильно изломанная кривая может иметь гладкую интегральную функцию.