Интеграл — это математический объект, обобщающий понятие площади под кривой.Определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x)dx задаёт число — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком f(x), осью x и вертикалями x=a и x=b. Он определяется как предел интегральных сумм Римана: Σ f(ξᵢ)Δxᵢ при стремлении максимальной длины отрезков разбиения к нулю. Неопределённый интеграл — семейство первообразных, т.е. функций F таких, что F'=f. Связь даёт формула Ньютона–Лейбница: ∫ₐᵇ f = F(b)−F(a).
Евдокс (ок. 370 до н.э.) и Архимед (287–212 до н.э.) использовали метод исчерпывания, античный аналог интегрирования. В XVII веке независимые работы Ньютона и Лейбница оформили интеграл как обращение дифференциала. Риман в 1854 году дал первое формальное определение, а в начале XX века Анри Лебег построил интеграл, основанный на мере, решив фундаментальные проблемы обмена пределов и интеграла.
Основная теорема исчисления: если f непрерывна на [a,b] и F — любая её первообразная, то ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a). Вычисление сводится к нахождению первообразной. Техники: замена переменной, интегрирование по частям (производная от произведения), разложение на простые дроби. Для сложных подынтегральных функций применяют численные методы (трапеций, Симпсона) или преобразования Фурье/Лапласа.
Расчёт пройденного пути по графику скорости, площади сложной фигуры, прогнозирование накопленной радиационной дозы в материалах — всё через интеграл.
Знак интеграла ∫ — стилизованная буква ſ (долгая s), от латинского summa, предложенная Лейбницем. В отличие от производной, интеграл сглаживает функцию: даже сильно изломанная кривая может иметь гладкую интегральную функцию.
| i | переменная | угол наклона орбитальной плоскости — inclination angle рад |
| b | переменная | малая ось проекции орбиты — minor axis м |
| a | переменная | большая ось проекции орбиты — major axis м |
| cos | оператор | косинус — cosine function |
| N | переменная | Необходимое число плиток — count |
| A | переменная | Общая площадь покрытия — площадь м² |
| a | переменная | Площадь одной плитки — площадь м² |
| ⌈ ⌉ | оператор | Округление вверх до ближайшего целого — ceiling function |
| T | переменная | вероятность туннелирования — transmission probability |
| z1 | переменная | левая точка поворота барьера — положение м |
| z2 | переменная | правая точка поворота барьера — положение м |
| m | переменная | масса туннелирующей частицы — масса кг |
| V | переменная | потенциальная энергия как функция координаты — потенциальная энергия Дж |
| E | переменная | энергия частицы — энергия Дж |
| ħ | константа | фундаментальный квант действия, делённый на 2π — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с |
| ∫ | оператор | суммирует подынтегральное выражение по интервалу — интеграл |
| √ | оператор | берёт неотрицательный корень — квадратный корень |
| exp | оператор | возводит e в заданную степень — exponential |
| T_{\mu\nu} | переменная | тензор энергии-импульса — stress energy tensor Дж/м³ |
| k^\mu | переменная | нулевой вектор — null vector |
| t | переменная | временная координата — время с |
| f(t) | переменная | пробная функция — sampling function |
| C | переменная | безразмерная константа — dimensionless constant |
| t_0 | переменная | характерное время — время с |
| \int_{-\infty}^{\inf | оператор | интегрирование по всему времени — интеграл |
| DM | переменная | Мера дисперсии — мера дисперсии пк/см³ |
| n_e | переменная | Объёмная плотность электронов — электронная плотность 1/м³ |
| l | переменная | Длина пути вдоль луча зрения — длина м |
| ∫ | оператор | Интегрирование вдоль луча зрения — интеграл |
| kappa | переменная | сходимость слабого линзирования — сходимость |
| theta | переменная | угловое положение на небе — angular position рад |
| chi | переменная | сопутствующее расстояние до источника — comoving distance м |
| chi' | переменная | сопутствующее расстояние вдоль луча зрения — comoving distance м |
| q | переменная | функция эффективности линзирования — lensing efficiency |
| a | переменная | масштабный фактор — масштабный фактор |
| f_K | переменная | сопутствующее угловое диаметральное расстояние — comoving angular diameter distance м |
| delta | переменная | контраст плотности вещества — контраст плотности |
| H_0 | константа | текущая скорость расширения Вселенной — постоянная Хаббла = 2.2e-18 1/с |
| Omega_m | константа | отношение плотности вещества к критической плотности сегодня — matter density parameter = 0.315 |
| c | константа | скорость света в вакууме — скорость света = 299792458 м/с |
| ∫ | оператор | суммирование по бесконечно малым элементам — интеграл |