Рабочая заметка · механика сплошных сред · часть VIII
Упругость и опора: закон Гука и принцип Архимеда
Два закона о том, как вещество «сопротивляется» — растяжению пружины и погружению в жидкость — и оба сводятся к на удивление простой линейной математике.
Роберт Гук в 1660-х открыл, что пружины (и вообще упругие тела) сопротивляются деформации пропорционально её величине — простейшая линейная связь, лежащая в основе теории упругости, от матрасов до небоскрёбов. Архимед на два тысячелетия раньше открыл другой, тоже линейный закон: жидкость выталкивает погружённое тело с силой, равной весу вытесненного объёма. В этой заметке — оба закона с числовыми примерами и сквозной эксперимент, объединяющий их в одном измерении.
Две силы сопротивления
| Закон | Формула | О чём |
|---|---|---|
| Гука | F = −kx | сила упругости растёт линейно со смещением |
| Архимеда | F = ρgV | выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости |
На первый взгляд разные явления — но оба описывают, как среда (пружина, жидкость) «отвечает» на попытку изменить её состояние, и в обоих случаях ответ на удивление прост: либо линейно от смещения, либо линейно от объёма. Простота этих законов — не совпадение, а следствие того, что оба явления рассматриваются в режиме малых, «мягких» возмущений, где сложная микроскопическая физика усредняется до одной константы (k или ρ).
Закон Гука: пружина считает линейно
Формулировка. Сила упругости пропорциональна деформации и направлена против неё:
Численный пример: пружина жёсткостью k = 200 Н/м растянута на x = 0.05 м. Какая сила упругости возникает?
Знак минус в формулировке напоминает: сила ВСЕГДА стремится вернуть тело в равновесие — растянута пружина, тянет назад; сжата, толкает вперёд. Именно эта «возвращающая» природа делает пружину классическим гармоническим осциллятором — отпустите груз, и он будет колебаться взад-вперёд (с трением — постепенно затухая).
От пружины к твёрдому телу
Тот же линейный закон работает не только для витых пружин — любое твёрдое тело при малой деформации ведёт себя как пружина, просто константу жёсткости заменяет свойство материала — модуль Юнга E:
| Материал | Модуль Юнга E, Па |
|---|---|
| Резина | ∼10⁶ |
| Дерево | ∼10⁹ |
| Сталь | ∼2×10¹¹ |
Сталь «жёстче» резины примерно в 200 000 раз — но обе, в пределах небольших деформаций, подчиняются ровно одному и тому же линейному закону. Небоскрёбы качаются на ветру на сантиметры и возвращаются в исходное положение именно благодаря этой упругости — если бы сталь не подчинялась закону Гука, высотные здания были бы либо опасно хрупкими, либо не могли бы вообще существовать.
Линейность — приближение, верное лишь до предела упругости. Растяните пружину слишком сильно — и она либо не вернётся в исходную форму (пластическая деформация), либо сломается. Инженеры-конструкторы всегда закладывают запас прочности именно потому, что за пределом закон Гука перестаёт предсказывать поведение материала.
Закон Архимеда: вес вытесненного
Формулировка. На тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу вытесненного объёма:
Численный пример: тело объёмом V = 0.002 м³ (2 литра) полностью погружено в воду (ρ = 1000 кг/м³, g ≈ 10 м/с²). Найдите выталкивающую силу.
Всплывёт тело или утонет — решает сравнение с силой тяжести: если вес тела меньше Fвыт при полном погружении, тело всплывает (и погружается лишь частично, пока веса не уравновесятся); если больше — тонет.
Сталь тяжелее воды почти в 8 раз (ρстали ≈ 7800 кг/м³ против 1000 у воды) — кусок стали, брошенный в воду, немедленно тонет. Но КОРПУС корабля — это в основном воздух, окружённый тонкой стальной оболочкой: средняя плотность всей конструкции (сталь + воздух внутри) намного ниже плотности воды. Значение имеет не плотность материала, а средняя плотность ВСЕГО вытесняющего объёма.
Сквозной пример: ареометр из пружинных весов
Соберём оба закона в одном классическом опыте: груз подвешен на пружинных весах (закон Гука — по растяжению пружины читаем силу), сначала в воздухе, потом — погружаем в воду.
В воздухе пружина растянута на x₁ = 0.05 м при жёсткости k = 1000 Н/м — значит, истинный вес груза:
Погружаем груз в воду целиком — пружина укорачивается до x₂ = 0.03 м (кажущийся вес Pкаж = 1000·0.03 = 30 Н). Разница — это и есть прямое измерение выталкивающей силы:
А из Fвыт = ρgV можно тут же вычислить объём груза, ничего не измеряя линейкой:
Это ровно тот же метод, которым (по легенде) Архимед уличил ювелира: измерить объём тела сложной формы через вытеснение, не разбирая его на части — только здесь пружинные весы делают это ещё и без ванны, переливающейся через край.
Куда это ведёт: атомные пружинки и давление
Закон Гука — не просто удобное приближение для инженеров, а следствие того, что химические связи между атомами твёрдого тела ведут себя как крошечные пружинки: при малом смещении атома из положения равновесия потенциальная энергия связи растёт квадратично (как у идеальной пружины), значит возвращающая сила — линейно, ровно закон Гука. Модуль Юнга E — макроскопическое усреднение жёсткости миллиардов таких атомных связей.
Закон Архимеда, в свою очередь, — прямое следствие того, что давление в жидкости растёт с глубиной (более высокий столб жидкости давит сильнее). Разница давлений на нижнюю и верхнюю грани погружённого тела и создаёт результирующую силу, направленную вверх — это не отдельный постулат, а следствие законов гидростатики. Более глубокая связь этих же идей с течением жидкости — в следующей заметке серии, про уравнение Бернулли.
На сайте это отдельные законы, если хочется пройти глубже:
Эксперимент дома
Возьмите канцелярскую резинку, отметьте на ней исходную длину, подвесьте груз известной массы (например, пакетик с монетами) и измерьте, насколько резинка растянулась. Добавьте вдвое больше монет.
Что заметить при удвоенном грузе резинка растянется примерно вдвое больше (пока не вышла за предел упругости резины) — прямая проверка закона Гука подручными средствами: F ∝ x.
Опустите сырое яйцо в стакан с обычной водопроводной водой — оно утонет. Затем растворите в воде несколько столовых ложек соли (размешивайте, пока не перестанет растворяться) и снова опустите яйцо.
Что заметить в солёной воде яйцо всплывает (или зависает в толще воды) — растворённая соль повышает плотность воды ρ, а значит и выталкивающую силу Fвыт = ρgV при том же объёме яйца, пока она не сравняется с весом яйца. Тот же эффект держит купальщиков на поверхности Мёртвого моря без усилий.
Задачи для проверки
Сначала подумайте сами, затем откройте решение. Решение везде идёт по схеме: Дано → Закон → Решение → Ответ.
1. Пружина жёсткостью 300 Н/м растянута силой 15 Н. На сколько она удлинилась?
Дано k = 300 Н/м, F = 15 Н.
Закон закон Гука (§2): F = kx.
Решение x = F/k = 15/300 = 0.05 м.
Ответ 5 см.
2. Кубик объёмом 0.001 м³ (10×10×10 см) полностью погружён в масло плотностью 800 кг/м³. Найдите выталкивающую силу.
Дано V = 0.001 м³, ρ = 800 кг/м³, g ≈ 10 м/с².
Закон закон Архимеда (§4): Fвыт = ρgV.
Решение Fвыт = 800·10·0.001 = 8 Н.
Ответ 8 Н.
3. Деревянный брусок массой 0.72 кг и объёмом 0.001 м³ бросили в воду (плотность 1000 кг/м³). Всплывёт он или утонет? (g ≈ 10 м/с²)
Дано m = 0.72 кг, V = 0.001 м³, ρводы = 1000 кг/м³.
Закон сравнение веса тела P = mg с максимальной выталкивающей силой Fвыт = ρgV (§4) — эквивалентно сравнению плотностей.
Решение ρбруска = m/V = 0.72/0.001 = 720 кг/м³ < 1000 кг/м³.
Ответ всплывёт — плотность бруска меньше плотности воды (типично для дерева).
4. Пружинные весы в воздухе показывают вес груза 80 Н, а после погружения груза в воду — 60 Н. Найдите объём груза (ρ воды = 1000 кг/м³, g ≈ 10 м/с²).
Дано P = 80 Н, Pкаж = 60 Н.
Закон метод §5: Fвыт = P − Pкаж, затем V = Fвыт/(ρg).
Решение Fвыт = 80 − 60 = 20 Н; V = 20/(1000·10) = 0.002 м³.
Ответ 0.002 м³ (2 литра) — объём измерен без единого прямого замера линейкой.
5. Почему при слишком сильном растяжении закон Гука перестаёт предсказывать поведение пружины? Что происходит на атомном уровне?
Закон предел упругости (§3, §6).
Решение закон Гука верен, пока смещение атомов из положения равновесия мало́ и потенциальная энергия связи хорошо приближается параболой (квадратичной функцией) — при больших смещениях реальная форма потенциала отклоняется от параболы, связи начинают рваться или необратимо перестраиваться (пластическая деформация), и линейная зависимость F от x перестаёт работать.
Ответ атомные связи выходят за область, где потенциал похож на параболу — приближение, лежащее в основе закона Гука, перестаёт быть точным.
Опечатка, неверная формула, число не сходится, коряво объяснено — напишите нам: feedback@bridge42worlds.org. Каждое сообщение реально читается, разбирается и по нему вносится правка — это не «в стол».