ملاحظة عملية · الديناميكا الحرارية · الجزء الثاني عشر
إشعاع الجسم الأسود: كيف يكشف اللون عن درجة حرارة النجم
المدفأة المتوهجة والمصباح المتوهج والنجم البعيد كلها تتوهج وفق القانون نفسه — ومحاولة شرحه كاملاً في عام 1900 أنجبت الفيزياء الكمومية.
كل جسم يشع إشعاعاً حرارياً، وشكل هذا الإشعاع يعتمد فقط على درجة الحرارة — وليس على المادة (بالنسبة لـ «الجسم الأسود المثالي»). قانون فين (1893) يعطي ذروة الإشعاع من حيث اللون، وقانون ستيفان-بولتزمان (1879/1884) — القدرة الكاملة، أما معادلة بلانك (1900) — الشكل الدقيق للمنحنى كاملاً، ومحاولة استخلاص هذه المعادلة «من الصفر» هي التي جعلت ماكس بلانك يفترض أن الطاقة تُشع على شكل حزم — كمّات. في هذه الملاحظة — القوانين الثلاثة بالأرقام وكيف يَزِن علماء الفلك النجوم من ألوانها.
ثلاثة قوانين لظاهرة واحدة
| القانون | ما يقدمه | الصيغة |
|---|---|---|
| فين (1893) | عند أي طول موجي تقع ذروة الإشعاع | λmax = b/T |
| ستيفان-بولتزمان (1879/84) | القدرة الكاملة للإشعاع | j* = σT⁴ |
| بلانك (1900) | الشكل الكامل للمنحنى عند كل طول موجي | B(λ,T) — انظر الفقرة 4 |
القوانين الثلاثة تتحدث عن كيان واحد — الجسم الأسود المطلق، ممتص مثالي (وبالتالي باعث مثالي) لأي ضوء ساقط. النجوم الحقيقية والمصابيح المتوهجة والفحم المتوهج هي تقريب جيد لهذه المثالية بشكل مدهش.
قانون فين: اللون يكشف درجة الحرارة
الصياغة. طول الموجة الذي تقع عنده ذروة الإشعاع يتناسب عكسياً مع درجة الحرارة:
مثال عددي: جسم مسخن إلى T = 2900 كلفن (فتيل مصباح متوهج نموذجي). احسب طول الموجة عند ذروة الإشعاع.
ذروة المصباح المتوهج — في نطاق الأشعة تحت الحمراء، ليس في الضوء المرئي: المصباح يسخن أكثر مما يضيء، والضوء الأصفر-الأبيض المرئي ليس سوى «ذيل» منحنى بلانك (الفقرة 4)، البارز في النطاق المرئي. ولهذا السبب فإن مصابيح LED (ذات الذروة في الضوء المرئي تماماً) أكثر كفاءة في استخدام الطاقة بهذا القدر.
قانون ستيفان-بولتزمان: القدرة تزداد أربع مرات أسرع
الصياغة. القدرة الإشعاعية الكاملة من وحدة المساحة تزداد مع القوة الرابعة لدرجة الحرارة:
القوة الرابعة ليست بالأمر البسيط: سخّنت جسماً إلى ضعف درجة الحرارة المطلقة — فهو يشع ليس الضعف بل 2⁴ = 16 مرة أشد. إنها علاقة حادة، «انفجارية» مقارنة بالعلاقة الخطية.
العملاق الأحمر منكب الجوزاء أبرد من الشمس (∼3500 كلفن مقابل 5800 كلفن) — استناداً إلى درجة الحرارة فقط ينبغي أن يشع بشكل أضعف. لكن الضياء الكامل يعتمد أيضاً على مساحة السطح (j*·4πR²)، ولدى منكب الجوزاء نصف قطر أكبر بمئات المرات من نصف قطر الشمس — المساحة العملاقة تعوّض بكثرة عن درجة الحرارة المنخفضة، ويشع النجم بقوة تفوق الشمس بعشرات الآلاف من المرات.
معادلة بلانك وولادة الكمّات
بحلول نهاية القرن التاسع عشر، تنبأت الفيزياء الكلاسيكية (قانون رايلي-جينز) بأن الجسم الأسود ينبغي أن يشع طاقة لا نهائية عند الأطوال الموجية القصيرة — نتيجة سخيفة، أُطلق عليها «كارثة فوق البنفسجية». الأجسام الحقيقية لا تتصرف هكذا: لديها ذروة واضحة وانخفاض في كلا الاتجاهين.
حرّك منزلق درجة الحرارة لأعلى (الفقرة 2، الرسوم المتحركة) — شكل المنحنى بأكمله يتغير كلياً: الذروة تنتقل إلى اليسار (قانون فين) والمنحنى بأكمله يرتفع (قانون ستيفان-بولتزمان، المساحة تحت المنحنى تزداد مع T⁴) في آن واحد، بصيغة واحدة:
وجد بلانك هذه المعادلة في عام 1900 تقريباً بطريقة التناسب — كانت تنطبق تماماً على البيانات التجريبية، واصلةً قانون فين (الأطوال الموجية القصيرة) وقانون رايلي-جينز (الأطوال الموجية الطويلة) في منحنى واحد. لتبرير المعادلة نظرياً، كان عليه أن يفترض أن الطاقة لا تشع بشكل مستمر، بل على شكل حزم E = hν — كمّات. لقد اعتبر بلانك نفسه هذا مجرد حيلة رياضية، وليس حقيقة فيزيائية، إلى أن استخدم أينشتاين نفس الفكرة لشرح التأثير الكهروضوئي (الجزء السادس، معادلة بلانك-أينشتاين) في عام 1905.
مثال شامل: وزن نجم من لونه
لا يمكن لعلماء الفلك الطيران إلى النجوم بمسطرة ومحرار — كل مجموعة البيانات عن نجم تُختزل عادة إلى طيفه. لِنَجمع كلا القانونين في مسألة واحدة.
الخطوة 1 (قانون فين).النجم B أسخن مرتين من الشمس (T☉ = 5800 كلفن، TB = 11600 كلفن) — يعني أن ذروة طيفها منزاحة مرتين أقرب إلى فوق البنفسجية: النجم أزرق بشكل ملحوظ أكثر من الشمس بالعين/بالمطياف. هكذا يُقاس T، دون معرفة شيء عن المسافة إلى النجم.
الخطوة 2 (قانون ستيفان-بولتزمان). إذا كان نصف قطر النجم B مثل نصف قطر الشمس، فكم مرة يشع بطاقة أقوى؟
بدمج كلا القياسين (اللون يعطي T، السطوع عند مسافة معروفة يعطي الضياء الكامل L)، من قانون ستيفان-بولتزمان L = 4πR²σT⁴ يُستخلص نصف قطر النجم R — المجموعة الكاملة من البارامترات الفيزيائية للنجم تُحصّل دون مغادرة الأرض، فقط من ضوئه.
إلى أين يؤدي هذا: الإشعاع المتبقي
أدق طيف طبيعي للجسم الأسود تم قياسه على الإطلاق — ليس نجماً، بل الكون نفسه. الإشعاع المتبقي (الخلفية الميكروية) — ضوء بارد، تحرر بعد حوالي 380,000 سنة من الانفجار العظيم، عندما برد الكون بما يكفي ليصبح شفافاً. اليوم، بعد 13.8 مليار سنة من التوسع، برد إلى T ≈ 2.725 كلفن — ويتبع معادلة بلانك (الفقرة 4) بدقة لا يمكن لأي فرن مختبري على الأرض توفيرها.
قامت الأقمار الاصطناعية COBE و WMAP و Planck بقياس هذا الإشعاع بدقة مذهلة — الانحرافات الصغيرة عن منحنى بلانك المثالي (بنحو واحد في المئة ألف) تحمل بصمات اللحظات الأولى لوجود الكون وشكلت أساس علم الكونيات الحديث، بما في ذلك قانون هابل ومعادلات فريدمان (الملاحظة التالية في السلسلة).
هذه قوانين منفصلة في الموقع، إذا أردت التعمق أكثر:
قانون بلانك للإشعاع · قانون فين للإزاحة · قانون ستيفان-بولتزمان
تجربة في المنزل
شغّل عين الطباخ الكهربائي (حلزوني، ليس تحريضياً) على الدرجة القصوى وراقبه من مسافة آمنة، دون لمس، لمدة دقيقة أو دقيقتين.
ما الذي تلاحظه اللولب يمر بمسار من الداكن (الأشعة تحت الحمراء، تشعر بالحرارة ولكن لا ترى الضوء) إلى الأحمر الخافت، ثم البرتقالي الساطع — هذا توضيح مباشر لقانون فين: التسخين يزيح ذروة الإشعاع من تحت الحمراء غير المرئية أقرب فأقرب إلى الطيف المرئي.
وجّه ريموت التلفزيون نحو كاميرا الهاتف الذكي (ليس نحو العين — فالـ LED تحت الأحمر للريموت غير مرئي مباشرة) واضغط أي زر، ناظراً إلى شاشة الهاتف في وضع الكاميرا.
ما الذي تلاحظه على شاشة الهاتف تظهر نقطة مضيئة تومض عند طرف الريموت — والتي لا تراها العين المجردة على الإطلاق. إن LED الريموت يشع في نطاق تحت الأحمر القريب (درجة حرارة «منخفضة» مقارنة بالضوء المرئي)، ومستشعر كاميرا الهاتف (بخلاف العين البشرية) حساس لهذا النطاق أيضاً.
مسائل للتحقق
فكر بنفسك أولاً، ثم افتح الحل. الحل في كل مكان يتبع المخطط: المعطى → القانون → الحل → الجواب.
1. سطح نجم درجة حرارته 5800 كلفن (مثل الشمس). احسب الطول الموجي لذروة إشعاعه.
المعطى T = 5800 كلفن، b ≈ 0.0029 م·كلفن.
القانون قانون فين (الفقرة 2): λmax = b/T.
الحل λmax = 0.0029/5800 ≈ 5×10⁻⁷ م = 500 نانومتر.
الجواب 500 نانومتر — المنطقة الخضراء من الطيف المرئي (الشمس مشعة باللون الأبيض لأنها تشع في كل النطاق المرئي دفعة واحدة، وليس فقط عند الذروة).
2. ضوعفت درجة حرارة نجم ثلاث مرات. كم مرة ازدادت قدرته الإشعاعية الكاملة من وحدة المساحة؟
المعطى Tالجديد = 3T.
القانون قانون ستيفان-بولتزمان (الفقرة 3): j* ∝ T⁴.
الحل j*الجديد/j* = 3⁴ = 81.
الجواب 81 مرة.
3. نجمان لهما نفس درجة الحرارة، لكن نصف قطر النجم B ثلاثة أضعاف نصف قطر النجم A. كم مرة يشع النجم B بقوة أكبر (من حيث الضياء الكامل)؟
المعطى TA = TB, RB = 3RA.
القانون الضياء الكامل L = 4πR²σT⁴ (الفقرة 3) — عند تساوي T يعتمد فقط على المساحة، R².
الحل LB/LA = (RB/RA)² = 3² = 9.
الجواب 9 مرات — الضياء يزداد مع المساحة، وليس مع نصف القطر مباشرة.
4. الإشعاع المتبقي اليوم لديه درجة حرارة ≈2.7 كلفن. عند أي طول موجي تقريباً تقع ذروته؟ في أي نطاق (مرئي، تحت الأحمر، ميكروية)؟
المعطى T ≈ 2.7 كلفن، b ≈ 0.0029 م·كلفن.
القانون قانون فين (الفقرة 2، الفقرة 6).
الحل λmax = 0.0029/2.7 ≈ 1.07×10⁻³ م ≈ 1.1 مم.
الجواب ≈1.1 مم — النطاق الميكروي (ومن هنا التسمية «الإشعاع المتبقي الميكروي الخلفي»).
5. لماذا كان على بلانك أن يفترض أن الطاقة تشع على شكل حزم (كمّات) وليس بشكل مستمر، كي يستخلص المعادلة الصحيحة للطيف؟
القانون «كارثة فوق البنفسجية» ومعادلة بلانك (الفقرة 4).
الحل تنبأت الفيزياء الكلاسيكية (قانون رايلي-جينز، الإشعاع المستمر) بزيادة لا نهائية للطاقة عند الأطوال الموجية القصيرة — سخافة تتعارض مع التجربة. إدخال التكميم (المهتز لا يمكنه أن يعطي طاقة إلا على شكل حزم E=hν) يقطع مساهمة الترددات العالية: كلما زاد التردد، كلما زاد «ثمن» الكم الواحد، وإحصائياً فإن مثل هذه الكمّات تنبعث بشكل أندر — فينحدر المنحنى بدلاً من النمو اللانهائي.
الجواب التكميم يزيل كارثة فوق البنفسجية — بدونه تعطي النظرية الكلاسيكية نتيجة (لا نهائية) لا معنى لها فيزيائياً.
خطأ طباعي، معادلة خاطئة، رقم لا يتوافق، شرح مرتبك — راسلنا على: feedback@bridge42worlds.org. كل رسالة تُقرأ فعلياً، وتُفحص ويُجرى التصحيح بناءً عليها — هذا ليس «للأدراج».