ملاحظة عمل · الديناميكا الكلاسيكية · الجزء الثاني
ما يحفظ في الحركة: الزخم، الطاقة، الزخم الزاوي
ثلاث كميات يمنع الفيزياء إنفاقها سدى: مهما تغيرت الصورة داخل النظام، يبقى مجموعها — إذا كان النظام مغلقًا — واحدًا قبل وبعد.
من قوانين نيوتن الثلاثة (انظر الجزء الأول) تتبع ثلاث كميات لا تتغير مع الزمن في نظام مغلق: الزخم، الطاقة، والزخم الزاوي. هذه ليست مصادفات عشوائية، بل نتيجة مباشرة لتماثلات المكان والزمان (مبرهنة نويثر، القسم §6). في هذه الملاحظة — جميع قوانين الحفظ الثلاثة بشكل منفصل مع أمثلة عددية، ثم مثال شامل واحد (تصادم مرن وغير مرن) يظهر أن الزخم يحفظ دائمًا، بينما الطاقة — فقط أحيانًا.
ثلاث كميات محفوظة
الميكانيكا النيوتونية لا تعطي فقط معادلة الحركة، بل أيضًا ثلاثة «حسابات»، لا يتغير مجموعها ما لم يلمس أحد النظام من الخارج.
| الكمية | الصيغة | تُحفظ عندما... |
|---|---|---|
| الزخم | p = mv | لا توجد قوى خارجية (ΣFخارجي = 0) |
| الطاقة | E = K + U | لا يوجد احتكاك/مقاومة (القوى محافظة) |
| الزخم الزاوي | L = Iω | لا يوجد عزم دوران خارجي (Στخارجي = 0) |
من المهم التفريق فورًا بين معنيين مختلفين لكلمة «يحفظ»: داخل النظام يمكن للكمية أن تتوزع بين الأجزاء (الزخم — من جسم إلى آخر، الطاقة — من حركية إلى كامنة) — يحفظ فقط المجموع الكلي للنظام، وليس قيمة كل جسم على حدة.
لاحظوا: شروط القوانين الثلاثة مختلفة. تصادم كرتين من الصلصال يحفظ الزخم دائمًا، لكنه لا يحفظ الطاقة الميكانيكية (جزء يتحول إلى حرارة التشوه) — يتم تحليل ذلك بالتفصيل في القسم §5.
الزخم: المجموع لا يتغير
الصياغة. إذا لم تؤثر قوى خارجية على نظام من الأجسام (أو كانت محصلتها صفرًا)، يظل الزخم الكلي للنظام ثابتًا. هذا نتيجة مباشرة للقانون الثالث لنيوتن (الجزء الأول، القسم §4): قوى التفاعل داخل النظام دائمًا مزدوجة ومتعاكسة، مما يعني أنها تلغي بعضها في المجموع الكلي.
مدفع كتلته 500 كجم يقف بلا حركة ويطلق قذيفة كتلتها 5 كجم بسرعة 100 م/ث. زخم القذيفة للأمام يساوي زخم ارتداد المدفع للخلف — من حيث المقدار، لا السرعة (سرعة المدفع أقل لأن كتلته أكبر).
نفس الحساب كما لمتزلجي الجليد في الجزء الأول، القسم §4 — هناك تنشأ القوى في أزواج والزخم ببساطة «ينتقل» من جسم إلى آخر، ويبقى المجموع صفريًا إذا كان النظام ساكنًا قبل التفاعل.
يحفظ الزخم في أي تصادم — مرن (تتطاير الكرات، الطاقة الحركية الكلية نفسها) وغير مرن (تلتصق الأجسام أو تتشوه، جزء من الطاقة يذهب إلى حرارة/صوت). الفرق بينهما — يتعلق بالطاقة، لا بالزخم. مثال عددي مفصل لكلا النوعين — القسم §5.
الطاقة: تغير أزياءها
الصياغة. في نظام تؤثر فيه فقط قوى محافظة (الجاذبية، المرونة — وليس الاحتكاك)، الطاقة الميكانيكية الكلية — مجموع الحركية والكامنة — ثابتة:
المثال الكلاسيكي — البندول أو الأرجوحة: في النقطة القصوى السرعة صفرية (K = 0)، كل الطاقة كامنة؛ في النقطة الدنيا الارتفاع أدنى ما يمكن (U = 0)، كل الطاقة حركية. في منتصف المسار — جزء من كل منها، لكن المجموع نفسه في أي نقطة من الأرجحة.
مثال عددي: يسقط جسم من ارتفاع h = 5 م بدون سرعة ابتدائية (نهمل مقاومة الهواء). ما سرعته عند الأرض؟
تلغى الكتلة — السقوط بدون مقاومة الهواء لا يعتمد على كتلة الجسم (نفس النتيجة للريشة والوزن، إذا أزلنا الهواء — تجربة الريشة والمطرقة الشهيرة على القمر).
قانون حفظ الطاقة — ليس ملاحظة تجريبية، بل حظر مباشر: لكي يعمل الجهاز إلى الأبد وينجز شغلًا مفيدًا، يحتاج إلى أن يأخذ الطاقة من مكان ما لهذا الشغل بدون مصدر خارجي — أي أن يخلقها من العدم. الآليات الحقيقية تفقد دائمًا جزءًا من الطاقة بسبب الاحتكاك والمقاومة (تتحول إلى حرارة — أيضًا طاقة، لكن بشكل أقل «فائدة»)، لذا تتوقف إذا لم تتم تغذيتها.
الزخم الزاوي: المتزلج يتسارع
الصياغة. إذا لم يؤثر على جسم عزم دوران خارجي، فإن زخمه الزاوي ثابت. لجسم صلب دوار L = Iω، حيث I — عزم القصور الذاتي (مقياس «صعوبة التدوير»، يعتمد على توزع الكتلة بالنسبة للمحور)، ω — السرعة الزاوية:
يدور المتزلج بذراعين ممدودتين (I كبير، ببطء)، ثم يضم ذراعيه إلى جسمه (يهبط I إلى الربع) — يتسارع الدوران فجأة، بالضبط ليبقى L كما هو. هذه ليست استعارة بعيدة: هكذا بالضبط يسرع المتزلجون الدوران فيزيائيًّا، بدون أي قوة إضافية.
مثال عددي: متزلج يدور بذراعين ممدودتين بعزم قصور ذاتي I1 = 4 كجم·م² وبسرعة زاوية ω1 = 2 rad/ث. بضم ذراعيه، يخفض عزم القصور الذاتي إلى I2 = 1 كجم·م². أوجد السرعة الزاوية الجديدة.
تسارع الدوران أربع مرات — بالضبط بنسبة انخفاض عزم القصور الذاتي. لا تقوم أي عضلة للمتزلج بعمل «لتسريع الدوران» مباشرةً في لحظة ضم الذراعين — مصدر زيادة الطاقة الحركية الدورانية هنا مختلف (عمل العضلات ضد التأثير «الطارد المركزي» عند سحب الذراعين إلى الجسم)، لكن حفظ L يبقى دقيقًا في كل الأحوال، بغض النظر عن الآلية.
قانون كبلر الثاني (1609): يمسح الكوكب مساحات متساوية في أزمنة متساوية، متحركًا في مداره الإهليلجي أسرع قرب الشمس وأبطأ بعيدًا عنها. هذا بالضبط حفظ الزخم الزاوي للكوكب بالنسبة للشمس — قبل 70 عامًا من صياغة نيوتن لقوانين الديناميكا. للمزيد — قانون كبلر الثاني.
مثال شامل: تصادم مرن وغير مرن
لنأخذ كرتين متساويتين في الكتلة (m = 2 كجم لكل منهما): الكرة A تطير بسرعة 6 م/ث وتصطدم بالكرة B الساكنة. سنحلل سيناريوهي التصادم.
تصادم مرن (الطاقة تحفظ أيضًا)
في التصادم المرن المثالي مع كتل متساوية، السرعات ببساطة تتبادل الأماكن: A تتوقف (vA = 0), B تطير بالسرعة التي كانت لدي A (vB = 6 م/ث). التحقق من القانونين:
| قبل التصادم | بعد التصادم | |
|---|---|---|
| الزخم، كجم·م/ث | 2·6 + 2·0 = 12 | 2·0 + 2·6 = 12 |
| الطاقة الحركية، جول | ½·2·6² = 36 | ½·2·6² = 36 |
تصادم غير مرن (الطاقة لا تحفظ)
عربة m1 = 3 كجم تتحرك بسرعة 4 م/ث وتلتحم بعربة ساكنة m2 = 1 كجم، ثم تتحركان معًا:
| قبل التصادم | بعد التصادم | |
|---|---|---|
| الزخم، كجم·م/ث | 3·4 + 1·0 = 12 | 4·3 = 12 |
| الطاقة الحركية، جول | ½·3·4² = 24 | ½·4·3² = 18 |
24 − 18 = 6 جول من الطاقة الحركية «اختفت» — لكنها في الحقيقة لم تختف، بل تحولت إلى حرارة وصوت تشوه الالتحام (قانون حفظ الطاقة في القسم §3 لم يُخترق، فقط تحولت الطاقة الميكانيكية إلى شكل غير ميكانيكي). أما الزخم — كمية متجهة بدون أشكال «غير ميكانيكية»، ببساطة لا مكان له ليذهب إليه سوى البقاء في حركة الأجسام — ومن هنا يأتي الفرق في سلوك القانونين.
إلى أين يقودنا هذا: مبرهنة نويثر
في الجزء الأول (§6) كان هناك إعلان: مبرهنة نويثر (إيمي نويثر، 1918) تربط كل قانون من قوانين الحفظ الثلاثة بتماثل في المكان-الزمان — ليس صدفة، بل نتيجة رياضية صارمة لمبدأ الفعل الأدنى.
| التماثل | ماذا يعني | يعطي حفظ |
|---|---|---|
| تجانس الزمن | قوانين الفيزياء لا تتغير من عصر إلى عصر — التجربة التي أُجريت البارحة واليوم تعطي نفس النتيجة | الطاقة |
| تجانس المكان | قوانين الفيزياء لا تتغير من نقطة إلى أخرى — انقل المختبر كيلومترًا، النتيجة نفسها | الزخم |
| توحد خواص المكان | قوانين الفيزياء لا تعتمد على الاتجاه — لا يوجد محور مميز في الكون | الزخم الزاوي |
هذا يقلب الترتيب البديهي للسبب والنتيجة: يبدو عادةً أن «قوانين الحفظ تأتي أولاً، والتماثلات نتيجة لها». في الواقع العكس — تماثلات المكان-الزمان أولية، وقوانين الحفظ تُستنتج منها تُستنتج رياضيًا، عبر معادلة أويلر-لاغرانج المطبقة على الفعل S (انظر الجزء الأول، §6، المعادلة (4)).
تنجو القوانين الثلاثة كلها عند الانتقال إلى ميكانيكا الكم (يصبح الزخم والطاقة والزخم الزاوي مؤثرات، لكن حفظها للنظام المعزول يبقى دقيقًا) وإلى النظرية النسبية الخاصة (تتحد الطاقة والزخم في متجه رباعي واحد للطاقة-الزخم، وترتبط به الكتلة السكونية عبر E = mc² — موضوع كبير منفصل). النسبية العامة استثناء: هناك حفظ الطاقة في الحالة العامة يتوقف عن أن يكون محددًا بدقة محليًّا بسبب غياب تماثل زمني عالمي في الزمكان المنحني، مما لا يزال يُناقش على حدود الفيزياء وفلسفة العلم.
على الموقع هذه قوانين منفصلة، إذا أردتم التعمق:
قانون حفظ الزخم · قانون حفظ الطاقة · قانون حفظ الزخم الزاوي · مبرهنة نويثر
تجربة في المنزل
اجلس على كرسي مكتب يدور بحرية، أمسك في كل يد شيئًا ثقيلاً (كتب، دمبل، زجاجات ماء) وافرد ذراعيك جانبًا. اطلب من أحدهم أن يدورك برفق (أو ادفع بقدميك عن الأرض بنفسك). بينما تدور — اضمم ذراعيك فجأة إلى صدرك.
ما ستلاحظ ستزداد سرعة الدوران بوضوح أمام عينيك، بدون أي دفعة إضافية — بالضبط نفس فيزياء المتزلج في القسم §4: انخفض عزم القصور الذاتي، فارتفعت السرعة الزاوية ليبقى L = Iω كما كان. افرد ذراعيك مجددًا جانبًا — سيتباطأ الدوران مرة أخرى.
إذا كان لديك في المنزل «بندول نيوتن» الطاولي (5 كرات معدنية على خيوط في صف) — اسحب الكرة الطرفية وأفلتها. لاحظ: من الطرف الآخر ترتد كرة واحدة بالضبط، بنفس السرعة، وليس، مثلاً، كرتان بنصف السرعة لكل منهما.
ما ستلاحظ كلا الخيارين («كرة واحدة بسرعة» و«كرتان بنصف السرعة») يحفظان الزخم شكليًّا — لكن الخيار ذو الكرة الواحدة فقط يحفظ أيضًا الطاقة الحركية (التصادم بين الكرات يكاد يكون مرنًا مثاليًّا، المعدن لا يكاد يتشوه). الطبيعة «تختار» النتيجة المتوافقة مع كلا القانونين معًا.
مسائل للتحقق
فكروا بأنفسكم أولاً، ثم افتحوا الحل. الأعداد اختيرت بحيث يكون الجواب عددًا صحيحًا. الحل في كل مكان يسير وفق المخطط: المعطيات → القانون → الحل → الجواب.
1. رائد فضاء كتلته 80 كجم في الفضاء المفتوح ساكن بالنسبة للمحطة ويرمي مفتاح صواميل كتلته 0.5 كجم بسرعة 8 م/ث. بأي سرعة سيبدأ رائد الفضاء نفسه بالانجراف؟
المعطيات mرائد = 80 كجم, mمفتاح = 0.5 كجم, vمفتاح = 8 م/ث، الزخم الكلي قبل الرمي = 0.
القانون حفظ الزخم (§2): 0 = mرائدvرائد + mمفتاحvمفتاح.
الحل vرائد = −0.5·8/80 = −0.05 م/ث.
الجواب 0.05 م/ث، في الاتجاه المعاكس للرمي — ببطء، لكن لا يمكن إيقافه بدون مساعدة خارجية.
2. كرة كتلتها 4 كجم تتدحرج بدون احتكاك من منزلق ارتفاعه 2 م. ما سرعتها في الأسفل؟
المعطيات m = 4 كجم, h = 2 م, g ≈ 10 م/ث².
القانون حفظ الطاقة (§3): mgh = ½mv².
الحل v = √(2gh) = √(2·10·2) = √40 ≈ 6.3 م/ث — لا تدخل الكتلة في الجواب.
الجواب ≈6.3 م/ث (لا يهم كتلة الكرة — ستتطابق مع أي كرة أخرى بدون احتكاك).
3. متزلج يدور بعزم قصور ذاتي 6 كجم·م² وسرعة زاوية 1.5 rad/ث، ثم يضم ذراعيه ويخفض عزم القصور الذاتي إلى 2 كجم·م². أوجد السرعة الزاوية الجديدة.
المعطيات I1 = 6 كجم·م², ω1 = 1.5 rad/ث, I2 = 2 كجم·م².
القانون حفظ الزخم الزاوي (§4): I1ω1 = I2ω2.
الحل ω2 = 6·1.5/2 = 4.5 rad/ث.
الجواب 4.5 rad/ث — أسرع ثلاث مرات (انخفض I ثلاث مرات).
4. عربتان كتلة كل منهما 5000 كجم تلتحمان أثناء الحركة: الأولى تتحرك بسرعة 6 م/ث، الثانية ساكنة. أوجد السرعة المشتركة بعد الالتحام وفقد الطاقة الحركية.
المعطيات m1 = m2 = 5000 كجم, v1 = 6 م/ث, v2 = 0.
القانون حفظ الزخم في التصادم غير المرن (§5): m1v1 = (m1+m2)vالكلي.
الحل vالكلي = 5000·6/10000 = 3 م/ث. Kقبل = ½·5000·6² = 90000 جول. Kبعد = ½·10000·3² = 45000 جول.
الجواب 3 م/ث، فقد 45000 جول (بالضبط النصف — ذهب في الضجيج وتشوه الالتحام).
5. ولد كتلته 40 كجم يقف على لوح تزلج ساكن كتلته 4 كجم ويقفز للأمام بسرعة 2 م/ث بالنسبة للأرض. بأي سرعة سيتحرك لوح التزلج للخلف؟
المعطيات mولد = 40 كجم, vولد = 2 م/ث, mلوح = 4 كجم، الزخم الكلي قبل القفزة = 0.
القانون حفظ الزخم (§2، نفس الطريقة المتبعة مع القارب في الجزء الأول).
الحل vلوح = −40·2/4 = −20 م/ث.
الجواب 20 م/ث، في الاتجاه المعاكس للقفزة — كتلة لوح التزلج الصغيرة تعطيه سرعة ارتداد كبيرة غير متناسبة.
خطأ إملائي، صيغة خاطئة، رقم لا يتوافق، شرح ركيك — اكتب لنا: feedback@bridge42worlds.org. كل رسالة تُقرأ فعلاً، وتُحلل، ويُجرى التصحيح بناءً عليها — هذا ليس «لحفظها في الأدراج».