مبرهنة نويثرمبرهنة
أثناء عملها على مشكلة حفظ الطاقة في النسبية العامة، أثبتت إيمي نويثر علاقة مذهلة: كل تناظر مستمر في نظام فيزيائي يقابله كمية محفوظة. تناظر الإزاحة الزمنية يُفضي إلى حفظ الطاقة، وتجانس الفضاء إلى حفظ الزخم، وتوحّد الخواص (تماثل الاتجاهات) إلى حفظ الزخم الزاوي. وتؤدي تناظرات أكثر تجريدًا إلى حفظ الشحنة الكهربائية وأعداد كمومية أخرى. تنطبق المبرهنة في أي نظرية تُشتق معادلاتها من مبدأ الفعل الأصغري. تشبيه: الساعة الرملية المتناظرة تمامًا لا يتغير معدل انسياب الرمل فيها إذا قُلبت، فالتناظر هنا يضمن حفظ الكتلة الكلية للرمل.
كيف يعمل
في الحياة يتجلى ذلك كالآتي: تتأرجح الأرجوحة وتتدفق الطاقة من الطاقة الكامنة إلى الحركية، لكن المجموع يبقى ثابتًا. الصاروخ يطير ويقذف غازاتٍ فيُحفظ زخم النظام الكلي. تدور المتزلجة بسرعة أكبر عندما تضم ذراعيها إلى جسمها، لأن الزخم الزاوي لا يتغير.
💡 لا تخبرنا مبرهنة نويثر كيف يتحرك النظام بالضبط، لكنها توضح لماذا يمكننا أصلًا استخدام مفهوم الطاقة. لولاها لبدا قانون حفظ الطاقة مجرد مصادفة.
\partial_\mu j^\mu = 0
∂_μ — المؤثر التفاضلي الرباعي (في الزمكان)؛ j^μ — شعاع كثافة تيار نويثر الرباعي (j^0 — كثافة الشحنة، j^i — التيار المكاني)؛ يعني حفظ التيار أن الشحنة الكلية Q = ∫ j^0 d^3x ثابتة زمنيًا.
Q = \int j^0 \, d^3x, \quad \frac{dQ}{dt} = 0
Q — الكمية المحفوظة (مثل الطاقة، الزخم، الشحنة الكهربائية)؛ j^0 — المركبة الزمنية لتيار نويثر؛ التكامل على كامل الفضاء يعطي مقدارًا ثابتًا مع الزمن.