المرونة والدعامة: قانون هوك ومبدأ أرخميدس

للوهلة الأولى، ظاهرتان مختلفتان — لكن كلتاهما تصف كيف «يستجيب» الوسط (الزنبرك، السائل) لمحاولة تغيير حالته، وفي كلتا الحالتين، الاستجابة بسيطة بشكل مدهش: إما خطيًا مع الإزاحة، أو خطيًا مع الحجم. بساطة هذين القانونين ليست مصادفة، بل نتيجة لأن كلتا الظاهرتين تُدرسان في نظام الاضطرابات الصغيرة «الناعمة»، حيث تُختزل الفيزياء المجهرية المعقدة إلى ثابت واحد (k أو ρ).

الصياغة.قوة المرونة تتناسب مع التشوه واتجاهها عكسه:

مثال عددي: زنبرك صلابته k = 200 نيوتن/م تم تمديده بمقدار x = 0.05 م. ما قوة المرونة الناشئة؟

علامة السالب في الصيغة تُذكّر: القوة دائمًا تسعى لإعادة الجسم إلى الاتزان — إذا تمدد الزنبرك، يسحب للخلف؛ وإذا انضغط، يدفع للأمام. هذه الطبيعة «المرتجعة» هي ما يجعل الزنبرك مهتزًا توافقيًا كلاسيكيًا — أطلق الوزن وسيتذبذب ذهابًا وإيابًا (مع الاحتكاك — يتلاشى تدريجيًا).

نفس القانون الخطي يعمل ليس فقط للزنبركات الحلزونية — أي جسم صلب عند تشوه صغير يتصرف كزنبرك، ولكن ثابت الصلابة يُستبدل بخاصية المادة — معامل يونغ E:

الفولاذ «أصلب» من المطاط بحوالي 200,000 مرة — لكن كليهما، في حدود التشوهات الصغيرة، يخضعان لنفس القانون الخطي تمامًا. ناطحات السحاب تتأرجح بفعل الرياح بضعة سنتيمترات وتعود إلى وضعها الأصلي بفضل هذه المرونة — لو لم يخضع الفولاذ لقانون هوك، لكانت المباني العالية إما هشة بشكل خطير، أو لا يمكن أن توجد أصلًا.

الصياغة.على الجسم المغمور في سائل (أو غاز)، تؤثر قوة دفع تساوي وزن الحجم المزاح:

مثال عددي: جسم حجمه V = 0.002 م³ (2 لتر) مغمور بالكامل في الماء (ρ = 1000 كغ/م³، g ≈ 10 م/ث²). أوجد قوة الدفع.

يطفو الجسم أم يغوص — يحدد بالمقارنة مع قوة الجاذبية: إذا كان وزن الجسم أقل من قوة الدفع القصوى F_الدفع عند الغمر الكامل، يطفو الجسم (وينغمر جزئيًا فقط حتى تتوازن القوى)؛ وإذا كان أكبر — يغوص.

لنجمع القانونين في تجربة كلاسيكية واحدة: ثقل معلق في ميزان زنبركي (قانون هوك — نقرأ القوة من تمدد الزنبرك)، أولاً في الهواء، ثم نغمره في الماء.

في الهواء، يتمدد الزنبرك بمقدار x₁ = 0.05 م وصلابته k = 1000 نيوتن/م — إذًا، الوزن الحقيقي للثقل:

نغمر الثقل في الماء كليًا — يقصر الزنبرك إلى x₂ = 0.03 م (الوزن الظاهري P_ظ = 1000·0.03 = 30 نيوتن). الفرق — هذا هو القياس المباشر لقوة الدفع:

ومن F_الدفع = ρgV يمكن فورًا حساب حجم الثقل، دون قياس أي شيء بالمسطرة:

هذه هي نفس الطريقة التي (حسب الأسطورة) استخدمها أرخميدس لكشف الصائغ: قياس حجم جسم معقد الشكل عن طريق الإزاحة، دون تفكيكه — ولكن هنا الميزان الزنبركي يفعل ذلك أيضًا بدون حوض يفيض.

قانون هوك ليس مجرد تقريب مريح للمهندسين، بل هو نتيجة لكون الروابط الكيميائية بين ذرات الجسم الصلب تتصرف مثل زنبركات صغيرة: عند إزاحة صغيرة للذرة عن موضع الاتزان، تزداد طاقة الوضع للرابطة تربيعيًا (كما في الزنبرك المثالي)، وبالتالي قوة الاستعادة تكون خطية، تمامًا قانون هوك. معامل يونغ E — هو متوسط مجهري لصلابة مليارات من هذه الروابط الذرية.

قانون أرخميدس، بدوره، هو نتيجة مباشرة لكون الضغط في السائل يزداد مع العمق (العمود الأعلى من السائل يضغط بقوة أكبر). الفرق في الضغط بين الوجهين السفلي والعلوي للجسم المغمور يولّد قوة محصلة نحو الأعلى — هذه ليست مسلّمة منفصلة، بل نتيجة لقوانين الهدروستاتيكا. الصلة الأعمق لهذه الأفكار نفسها مع جريان السوائل — في الملاحظة التالية من السلسلة، عن معادلة برنولي.

على الموقع هذه القوانين منفصلة، إذا أردت التعمق أكثر:

قانون هوك · قانون أرخميدس

فكّر بنفسك أولاً، ثم افتح الحل. الحل دائمًا يتبع النسق: المعطيات → القانون → الحل → الجواب.