مذكرة عمل · الكهرومغناطيسية · الجزء الرابع

معادلات ماكسويل: كيف يولد الضوء

أربع معادلات قصيرة شرحت المغناطيس، والمولدات، وموجات الراديو - وبشكل غير متوقع لماكسويل نفسه، تبين أنها معادلة الضوء نفسه.

ملخص

في ستينيات القرن التاسع عشر، جمع جيمس كليرك ماكسويل القوانين التجريبية المتفرقة لكولوم، وغاوس، وأمبير، وفاراداي في نظام من أربع معادلات - واكتشف قطعة ناقصة: فبدونها كانت المعادلات تتعارض مع حفظ الشحنة. بإضافة «تيار الإزاحة»، لم يُصلح الرياضيات فحسب - بل تنبأت المعادلات فورًا بموجات تنتقل بسرعة تطابقت تمامًا مع سرعة الضوء. اتضح أن الضوء موجة كهرومغناطيسية. في هذه المذكرة - المعادلات الأربع كل على حدة، ثم التجميع: كيف تنبثق منها موجة ذاتية الانتشار.

المجالان الكهربائي والمغناطيسي يتشابكان لتوليد الضوء — الحقلان الكهربائي والمغناطيسي، بتشابكهما، يولدان الضوء

الفوتون — موجة ذاتية الاستدامة لمجالين — الفوتون - موجة ذاتية الاستدامة من حقلين

§1

أربع معادلات في كلمتين

№	الاسم	المعنى في عبارة واحدة
I	غاوس (E)	الشحنة - مصدر الحقل الكهربائي المنطلق إلى الخارج
II	غاوس (B)	لا يوجد مصدر-«شحنة» للحقل المغناطيسي - إنه دائمًا مغلق
III	فاراداي	المغناطيسية المتغيرة تولد حقلاً كهربائيًا دوارًا
IV	أمبير-ماكسويل	التيار وَ الحقل الكهربائي المتغير يولدان حقلاً مغناطيسيًا دوارًا

التناظر مثالي تقريبًا: الثالث والرابع – عبارتان متطابقتان كالمرآة («B المتغير يولد E» و«E المتغير يولد B»)، أما الأول والثاني – «هناك شحنة لـ E، وليس لـ B». هذا التناظر التقريبي و«النقص» في حد واحد في قانون أمبير الأصلي هو ما أوحى لماكسويل أن شيئًا ما مفقود - وأدى إلى اكتشاف تيار الإزاحة (§5).

§2

قانون غاوس: الشحنة كمصدر للحقل

الصياغة. الحقل الكهربائي «يتباعد» عن الشحنة بنسبة مقدارها:

∇·E = ρ/ε₀

ρ — كثافة الشحنة، ε₀ ≈ 8.854×10⁻¹² F/م — الثابت الكهربائي

في الصورة التكاملية الأكثر إيضاحًا: تدفق الحقل الكهربائي عبر أي سطح مغلق يتناسب مع الشحنة داخله. تخيلوا - تصوروا الشحنة كـ«صنبور» تندفع منه نفاثات خطوط القوة في كل الاتجاهات؛ مهما رسمتم سطحًا حول الصنبور، ستمر عبره نفس كمية «الماء» التي تعتمد فقط على قوة الصنبور (مقدار الشحنة)، وليس على شكل السطح أو حجمه.

حالة خاصة — قانون كولوم

إذا طبقنا قانون غاوس على شحنة نقطية واحدة وحسبنا الحقل على كرة نصف قطرها r حولها، نحصل تمامًا على قانون كولوم (القوة بين شحنتين تتناقص كـ 1/r²) — وهو تاريخيًا أقدم، اكتشف تجريبيًا في عام 1785، قبل 80 عامًا من ماكسويل. قانون غاوس ليس حقيقة جديدة، بل إعادة صياغة أكثر عمومية وقوة لنفس الأمر.

§3

قانون غاوس للمجال B: لا وجود لأحادي القطب

الصياغة. لا يوجد مصدر للحقل المغناطيسي — إنه لا «يبدأ» ولا «ينتهي» في أي مكان:

∇·B = 0

على عكس الحقل الكهربائي، لا يوجد في المغناطيسي نظير لـ«الشحنة المفردة»

قسموا مغناطيسًا إلى نصفين على أمل الحصول على قطعة «شمالية» منفصلة وأخرى «جنوبية» منفصلة — لن ينجح ذلك: كل قطعة سيكون لها كلا القطبين مرة أخرى. خطوط القوة المغناطيسية دائمًا مغلقة على نفسها (تخرج من القطب الشمالي وتعود بالضرورة إلى الجنوبي)، على عكس الخطوط الكهربائية التي تبدأ على الشحنة الموجبة وتنتهي على السالبة (أو تمتد إلى ما لا نهاية).

سؤال مفتوح

بعض النظريات خارج إطار معادلات ماكسويل (خصوصًا نظرية التوحيد الكبرى) تتنبأ بوجود أحادي القطب المغناطيسي — «شحنات» شمالية أو جنوبية منفصلة. بحثوا عنها لعقود (بما في ذلك الإشارة الخاطئة الشهيرة لكاشف بلاس كابريرا عام 1982)، لكن لم يعثروا عليها بشكل مقنع — في إطار الكهروديناميكا الكلاسيكية يبقى القانون ∇·B = 0 حقيقة تجريبية دقيقة، وليس مجرد تقريب ملائم.

§4

قانون فاراداي: المغناطيسية تولّد التيار

الصياغة. الحقل المغناطيسي المتغير مع الزمن يولد حقلاً كهربائيًا دوارًا — وبالتالي تيارًا في ناقل مغلق:

ε = −dΦ_B/dt

ε — القوة الدافعة الكهربائية المحرّضة (فولت)، Φ_B — التدفق المغناطيسي عبر الدارة (ويبر)؛ إشارة السالب — قاعدة لينز (§4-هامش)

هكذا بالضبط يعمل أي مولد كهربائي: يدور المغناطيس ميكانيكيًا بالقرب من الملف (أو الملف بالقرب من المغناطيس - المهم في القانون فقط السرعة النسبية لتغير التدفق)، فيتغير التدفق باستمرار، وتتحرض في السلك ق.د.ك. باستمرار. إشارة السالب — قاعدة لينز: التيار المحرّض يسري في اتجاه بحيث يعاكس حقله المغناطيسي الخاص التغير الذي سببه (وإلا لحصلنا على محرك أبدي — كان التأثير سيعزز نفسه بقوة متزايدة، وهو ما يحظره قانون حفظ الطاقة).

مثال عددي: ملف من N = 100 لفة يوجد في حقل مغناطيسي، يتزايد التدفق خلال اللفة الواحدة بانتظام من 0.02 ويبر إلى 0.05 ويبر خلال 0.5 ثانية. احسب القوة الدافعة الكهربائية المحرّضة.

ε = −N·ΔΦ/Δt = −100·(0.05−0.02)/0.5 = −6 فولت

(1)

قيمة القوة الدافعة الكهربائية — 6 فولت؛ الإشارة تدل فقط على اتجاه التيار (المعاكس لزيادة التدفق)، وليس على المقدار.

§5

قانون أمبير-ماكسويل: التيار يولّد المغناطيسية

الصياغة. التيار الكهربائي وَ الحقل الكهربائي المتغير مع الزمن يولدان حقلاً مغناطيسيًا دوارًا:

∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t

μ₀ ≈ 1.257×10⁻&sup6 هنري/م — الثابت المغناطيسي؛ J — كثافة التيار

الحد الأول (μ₀J) — هذا هو قانون أمبير الأصلي (1826): التيار يُنشئ حوله حقلاً مغناطيسيًا دائريًا، يمكن التحقق منه بسهولة باستخدام بوصلة بجانب سلك يمر فيه تيار.الحد الثاني — مساهمة ماكسويل نفسه، «تيار الإزاحة»: حتى في الأماكن التي لا يوجد فيها تيار حقيقي (مثلًا بين صفيحتي مكثف يُشحن، في الفراغ)، الحقل الكهربائي المتغير بسرعة يُحدث نفس التأثير — يولد حقلاً مغناطيسيًا.

لماذا احتاج ماكسويل هذا الحد

بدون تيار الإزاحة، كان قانون أمبير في صورته القديمة يتعارض رياضيًا مع حفظ الشحنة عند انقطاع الدارة (مثلًا في المكثف): فعند تطبيقه على سطحين مختلفين محددين بنفس الحلقة، كان يعطي نتائج مختلفة — وهذا سخيف. إضافة الحد μ₀ε₀∂E/∂t أزال التناقض — واتضح أنه جعل المعادلات متناظرة وقادرة على وصف موجة ذاتية الانتشار (§6). حالة نادرة في تاريخ الفيزياء، حيث أدى إصلاح تناقض رياضي إلى أعظم اكتشاف.

§6

مثال شامل: ولادة الضوء

لنجمع قانوني فاراداي (§4) وأمبير-ماكسويل (§5) معًا — وسنرى لماذا يستطيع الحقل الكهرومغناطيسي الانتشار بنفسه، بدون أسلاك أو مغناطيسات.

لنفترض أنه في مكان ما من الفضاء يبدأ الحقل الكهربائي E بالتغير مع الزمن (بسبب تذبذب شحنة في هوائي مثلًا).
وفقًا لـ قانون أمبير-ماكسويل (§5، الحد الثاني) هذا E المتغير يولد هنا مباشرة حقلاً مغناطيسيًا دوارًا B — في نقطة مجاورة من الفضاء، دون أي سلك.
لكن لا يوجد سبب ليكون هذا B ثابتًا أيضًا — فهو أيضًا يتغير مع الزمن. ووفقًا لـ قانون فاراداي (§4) B المتغير يولد E دوارًا — أبعد قليلاً عن المصدر.
فتحصل سلسلة تفاعلات: E يولد B، وB يولد E، كل منهما في الخطوة التالية أبعد قليلاً عن المصدر. الحقل «يهرب» من الهوائي بنفسه، دون مساعدة خارجية — هذه هي الموجة الكهرومغناطيسية.

بالتعويض بإحدى المعادلتين في الأخرى (رياضيًا — بأخذ دوران إحداهما والتعويض في الأخرى)، نحصل على معادلة موجية اعتيادية، وتُعطى سرعة الموجة بدلالة ثابتين فقط — الثابتين الكهربائي والمغناطيسي:

c = 1/√(ε₀μ₀) = 1/√(8.854×10⁻¹²·1.257×10⁻&sup6) ≈ 3×10&sup8 م/ث

(2)

لحظة الاكتشاف

هذان الثابتان (ε₀ و μ₀) كانتا معروفتين من تجارب مختبرية كهربائية ومغناطيسية بحتة — تم قياسهما باستخدام المكثفات والملفات، دون أي ذكر للبصريات. عندما عوّض ماكسويل عام 1862 أرقامهما في المعادلة (2) وحصل على مقدار طابق سرعة الضوء المقاسة، كتب: «لا يمكننا تجنب الاستنتاج بأن الضوء يتكون من تذبذبات عرضية لنفس الوسط الذي يسبب الظواهر الكهربائية والمغناطيسية». اتضح أن البصريات فرع من الكهرومغناطيسية — لم يتوقع أحد ذلك.

الضوء المرئي، وموجات الراديو، والأشعة السينية، والميكروويف — كلها نفس الموجة الكهرومغناطيسية، تختلف فقط في طول الموجة (تردد تذبذبات E و B). الفرق بين راديو FM وصورة الأشعة السينية ليس في فيزياء الظاهرة، بل فقط في الأرقام.

§7

إلى أين يقودنا هذا: نسبية الحقول

تحمل معادلات ماكسويل مفاجأة أخرى، لم تُلاحظ فورًا: إنها لا تغير شكلها تحت تحويلات لورينتز (أي أنها «صحيحة نسبويًا» بالفعل)، على عكس ميكانيكا نيوتن التي تطلبت تعديلاً. علاوة على ذلك — ما يسميه أحد المراقبين «حقلًا مغناطيسيًا خالصًا» سيراه مراقب آخر يتحرك بالنسبة للأول كمزيج من حقل كهربائي وَ مغناطيسي.

E و B — كيان واحد، وليس حقلين مختلفين

مثال كلاسيكي: شحنة ساكنة بجانب سلك يمر فيه تيار لا تتعرض لقوة كهربائية (السلك متعادل كهربائيًا)، بل لقوة مغناطيسية فقط (إذا تحركت). لكن بالنسبة لمراقب يتحرك مع الشحنة، يبدو الوضع مختلفًا: بسبب تقلص الطول اللورينتزي، تتوقف كثافات الشحنات الموجبة والسالبة في السلك عن التعويض الدقيق — فيبدو السلك مشحونًا قليلاً، وتظهر قوة كهربائية حقيقية. نفس التأثير الفيزيائي — يمكن تسميته «مغناطيسيًا» أو «كهربائيًا» حسب الإطار المرجعي. هذه العلاقة بالذات هي أحد الطرق التاريخية التي أوصلت أينشتاين إلى نظرية النسبية الخاصة (1905)، منطلقًا من لغز معادلات ماكسويل، وليس من الميكانيكا.

على الموقع هذا قانون منفصل، إذا أردتم التعمق أكثر:

معادلات ماكسويل · قانون الحث لفاراداي · قانون أمبير

§8

تجربة منزلية

🧪 تجربة منزلية · مغناطيس كهربائي منزلي الصنع

لفوا 30-40 لفة من سلك نحاسي معزول على مسمار حديدي كبير، وصلوا الطرفين ببطارية بقدرة 1.5 فولت (بحجم الإصبع) لبضع ثوان (لا أكثر — فالسلك والبطارية يسخنان).

ما ستلاحظونه سيبدأ المسمار بجذب المشابك والأشياء المعدنية الصغيرة الأخرى — عرض مباشر لقانون أمبير (§5، الحد الأول): التيار في السلك يُنشئ حقلاً مغناطيسيًا، ولفه على شكل ملف يركز ويقوي هذا الحقل داخل المسمار وحوله (الذي يصبح بدوره ممغنطًا، معززًا التأثير).

🧪 تجربة منزلية · الكهرباء الساكنة تجذب الماء

مشطوا الشعر الجاف بمشط بلاستيكي (أو افركوا بالونًا بسترة صوفية) وقرّبوه من مجرى ماء رفيع من الصنبور.

ما ستلاحظونه سينحرف مجرى الماء بشكل ملحوظ نحو المشط. الاحتكاك «طرد» إلكترونات من مادة إلى أخرى، مولّدًا شحنة على المشط — ووفقًا لقانون غاوس (§2) يوجد حقل كهربائي حول الشحنة، يحث شحنة معاكسة ضعيفة على جزيئات الماء المتعادلة لكن القابلة للاستقطاب فيجذبها (التأثير يسمى استقطاب العازل).

§9

مسائل للاختبار

فكروا أولاً بأنفسكم، ثم افتحوا الحل. الحل في كل مكان يتبع المخطط: المعطيات → القانون → الحل → الجواب.

1. تبث محطة راديو FM على تردد 100 ميغاهرتز. ما طول موجة هذه الإشارة الراديوية؟

المعطيات f = 100 MHz = 10&sup8 هرتز، c ≈ 3×10&sup8 م/ث (§6).

القانون العلاقة بين طول الموجة والتردد والسرعة لأي موجة: λ = c/f.

الحل λ = 3×10&sup8 / 10&sup8 = 3 م.

الجواب 3 أمتار — تقريبًا طول هوائي صغير على برج الراديو (ربع الموجة، 0.75 م، هو الطول العملي القياسي).

2. ملف من 50 لفة يوجد في حقل، يتناقص التدفق المغناطيسي خلاله من 0.03 ويبر إلى 0.01 ويبر خلال 0.4 ثانية. احسب مقدار القوة الدافعة الكهربائية المحرّضة.

المعطيات N = 50، ΔΦ = 0.01−0.03 = −0.02 ويبر، Δt = 0.4 ثانية.

القانون قانون فاراداي (§4): ε = −N ΔΦ/Δt.

الحل ε = −50·(−0.02)/0.4 = 2.5 فولت.

الجواب 2.5 فولت.

3. يبلغ طول موجة الأشعة السينية حوالي 1 نانومتر (10⁻⁹ م). هل لها نفس الطبيعة الفيزيائية للضوء المرئي، أم هي ظواهر مختلفة؟ علل، مستشهدًا باستنتاج محدد من معادلات ماكسويل.

القانون استنتاج المعادلة الموجية من معادلات ماكسويل (§6) — الطبيعة الموحدة للموجات الكهرومغناطيسية.

الحل لا تحتوي معادلات ماكسويل على أي معامل يميز «الضوء» عن «الأشعة السينية» — بل ينتج عنها معادلة موجية واحدة ذات سرعة مميزة وحيدة c. التسميات المختلفة (راديو، ضوء، أشعة سينية) هي ببساطة نطاقات مختلفة لنفس الكمية: طول الموجة (أو التردد).

الجواب نفس الطبيعة — موجة كهرومغناطيسية، الاختلاف فقط في طول الموجة (بالنسبة للأشعة السينية أقصر بحوالي 500,000 مرة من الضوء الأخضر).

4. لماذا عند محاولة كسر مغناطيس إلى «قطب شمالي منفصل» و«قطب جنوبي منفصل» نحصل دائمًا على مغناطيسين كاملين جديدين؟ أي معادلة من معادلات ماكسويل تمنع انتهاك هذا؟

القانون قانون غاوس للمجال المغناطيسي (§3): ∇·B = 0.

الحل الصفر في الطرف الأيمن (على عكس قانون غاوس لـ E، §2، حيث يوجد كثافة الشحنة في الطرف الأيمن) يعني: لا يوجد نظير للشحنة المصدرية في الحقل المغناطيسي — خطوط الحقل يجب أن تكون مغلقة ولا يمكنها «الانقطاع» عند قطب معزول، مهما قسمنا المغناطيس.

الجواب قانون غاوس للمجال B — غياب أحادي القطب المغناطيسي مدمج مباشرة في شكل المعادلة.

5. مكثف يُشحن في الفراغ يولّد حقلاً مغناطيسيًا حوله، مع أنه لا يوجد تيار حقيقي بين صفيحتيه (الشحنة تتراكم فقط على الصفائح). كيف تفسر معادلات ماكسويل ذلك؟

القانون قانون أمبير-ماكسويل (§5)، الحد الثاني — تيار الإزاحة.

الحل بين صفيحتي المكثف، يزداد الحقل الكهربائي بسرعة مع تراكم الشحنة — هذا هو ∂E/∂t، «تيار الإزاحة»، الذي وفق المعادلة (§5) يعمل تمامًا كتيار التوصيل الحقيقي، وينشئ حقلاً مغناطيسيًا دوارًا حول المنطقة بين الصفيحتين.

الجواب تيار الإزاحة — هذا هو بالضبط الحد الذي أضافه ماكسويل لقانون أمبير القديم لشرح حالات كهذه.

هل وجدت عدم دقة؟

خطأ مطبعي، معادلة خاطئة، رقم لا يتطابق، شرح غير واضح — اكتبوا لنا: feedback@bridge42worlds.org. كل رسالة تُقرأ فعليًا، وتُحلل، ويُجرى التصحيح بناءً عليها — هذا ليس «للأدراج».