теорема Колмогорова — Арнольда — Мозератеорема

В 1954 году Andrey Kolmogorov предложил идею, а Vladimir Arnold и Jürgen Moser в 1960-х строго доказали, что в гамильтоновых системах (где энергия сохраняется) при малых возмущениях сохраняются так называемые инвариантные торы — многомерные поверхности, на которых движение остаётся регулярным. Это похоже на слоёный пирог: одни слои (торы) могут выдержать легкую встряску, а другие — разрушиться в крошево хаоса. Теорема установила границу между порядком и хаосом.

Представь себе качающийся маятник: если добавить небольшое возмущение, его движение останется почти регулярным. Теорема говорит, что в сложных системах (например, планеты вокруг Солнца) большинство замкнутых орбит не разрушаются, а лишь слегка деформируются при слабом влиянии других тел. Это объясняет, почему Солнечная система устойчива, хотя планеты притягивают друг друга.

Теорема утверждает, что для интегрируемой гамильтоновой системы, описываемой переменными действие-угол (I, θ), при достаточно малом и гладком возмущении H(I, θ) = H₀(I) + ε H₁(I, θ), инвариантные торы с частотами ω = ∂H₀/∂I сохраняются, если частоты удовлетворяют диофантову условию |k·ω| ≥ γ/|k|^τ для всех целочисленных векторов k ≠ 0. Таким образом, мера разрушенных торов стремится к нулю с ε, и регулярная динамика сосуществует с хаотической.