теорема вириалатеорема

Рудольф Клаузиус в 1870 году, изучая связь теплоты и механической работы, вывел теорему вириала. Она связывает среднюю кинетическую энергию системы частиц с «вириалом» — полусуммой скалярных произведений сил на координаты. Для сил, убывающих как 1/r (гравитация, электричество), теорема дает изящный результат: 2⟨T⟩ = –⟨U⟩. Фриц Цвикки в 1933 году применил это соотношение к скоплению Волос Вероники и обнаружил, что видимой массы не хватает примерно в сто раз — так впервые возникла идея тёмной материи.

Теорема сравнивает среднюю энергию движения частиц системы и работу всех сил, действующих между ними. Для мира, где царит закон всемирного тяготения, она утверждает: средняя кинетическая энергия равна половине модуля средней потенциальной энергии, взятой с обратным знаком. Поэтому по разбросу скоростей звёзд можно «взвесить» всю галактику, включая невидимые компоненты.

Теорема вириала для системы N частиц: 2⟨T⟩ = –⟨Σ_i r_i · F_i⟩. Усреднение ведётся по бесконечно большому времени для связанной стационарной системы. Если потенциальная энергия парного взаимодействия — однородная функция степени n, то 2⟨T⟩ = n⟨U⟩. Для гравитационного и кулоновского потенциалов n = –1, откуда 2⟨T⟩ + ⟨U⟩ = 0. Полная энергия E = ⟨T⟩ + ⟨U⟩ = –⟨T⟩ < 0, что указывает на связанное состояние. В астрофизике это позволяет найти полную массу объекта по дисперсии скоростей, не зная деталей распределения плотности.