قطرة حبر تنتشر في كأس ماء: تتحرك أطرافها أسرع من وسطها، ويتغير شكل القطرة. كذلك كتلة المادة المظلمة التي تنكمش تحت جاذبيتها الذاتية، تتمدد بشكل غير منتظم، إذ تتباعد أغلفتها المختلفة بسرعات متفاوتة. سابقًا، تمكن علماء الفيزياء الفلكية من وصف الحالة الأبسط فقط بدقة، وهي الكرة المتجانسة ذات الحدود الحادة، التي لها معدل تمدد واحد. لكن الكتل الحقيقية تكون ملساء: تنخفض الكثافة تدريجيًا من المركز إلى الأطراف، وكل غلاف يشعر بجاذبيته الخاصة.
يقدم المؤلفون رقمين لكل نقطة: التباين المحلي، وهو مدى ارتفاع الكثافة هنا عن متوسط الكون، والتباين الداخلي، وهو مدى ارتفاع كثافة كل ما هو داخل تلك النقطة عن المتوسط. اتضح أن سرعة التباعد عبر نصف القطر تعتمد فقط على التباين الداخلي، بينما تعتمد على طول نصف القطر أيضًا على الفرق بين التباين المحلي والتباين الداخلي. هذا الفرق يبين بالضبط مدى حدة تغير الكثافة من نقطة إلى أخرى: إذا كان كبيرًا، تتمدد الأغلفة بقوة أكبر.
للتقديرات السريعة، تم اقتراح تقريب بسيط من ثلاثة حدود لا يخطئ بأكثر من 0.7% في نطاق واسع من علم الكونيات. هذا يعني أنه بدلاً من الحسابات الطويلة على الكمبيوتر، يمكن الحصول فورًا على السرعات من توزيع كثافة معين. سابقًا، كان يتعين حل معادلات الحركة من جديد لكل توزيع جديد، أما الآن فيكفي تعويض الأرقام في صيغة جاهزة.
الفائدة العملية: في محاكاة الكون والنماذج التحليلية لتشكل البنى، غالبًا ما تكون التوزيعات الكروية مطلوبة. النتيجة الجديدة تسمح بحساب السرعات بسرعة دون إعادة حل الديناميكا، مما يوفر الوقت ويبسط تفسير بيانات السرعات الخاصة للمجرات.
تخطر ببالنا مرة أخرى قطرة الحبر في الكأس: الآن يمكن وصف انتشارها بدالة واحدة، بمعرفة توزيع الحبر فقط في كل لحظة. كذلك كتلة المادة المظلمة، يتمددها محدد بالكامل بتوزيع الكثافة ودالة عالمية واحدة، نفسها لجميع الأشكال الكروية الملساء.
بالنسبة لغلاف في جدار الفراغ، يمكن أن يكون التباين المحلي موجبًا بينما التباين الداخلي سالب: الغلاف أكثر كثافة من المتوسط، لكن داخله لا يزال هناك عجز في الكتلة. هذا الاختلاف هو ما يتحكم في تباين التوسع.