lagrangiano

# tag · @ author · ! scientist

El lagrangiano es una función que depende de las coordenadas y las velocidades de todas las partes del sistema. En lugar de considerar fuerzas, como en la mecánica de Newton, aquí se opera con energías: cinética (energía del movimiento) y potencial (energía de posición). Del principio de mínima acción se sigue que el movimiento real del sistema transcurre de manera que la diferencia total de estas energías a lo largo de la trayectoria sea mínima. Este enfoque es especialmente cómodo para sistemas con ligaduras, por ejemplo un péndulo de hilo inextensible, y permite deducir las ecuaciones del movimiento (ecuaciones de Euler-Lagrange).

History

Fue desarrollado por Joseph-Louis Lagrange en 1788 como un método universal para describir el movimiento, alternativo a las leyes de Newton.

How it works

Como el agua fluye cuesta abajo eligiendo el camino de menor resistencia, cualquier sistema mecánico evoluciona minimizando la diferencia acumulada entre la energía cinética y la potencial, definida por el lagrangiano.

💡 El método de Lagrange permitió resolver problemas que eran demasiado complejos para aplicar directamente las leyes de Newton, como el movimiento de sistemas de muchos cuerpos con restricciones.

El lagrangiano L(q, q̇, t) es la función fundamental en la mecánica analítica, definida como la diferencia entre la energía cinética T y la potencial V: L = T − V. El principio de Hamilton (o principio de acción estacionaria) afirma que la trayectoria real del sistema entre dos instantes de tiempo hace que la integral de acción S = ∫ L dt sea estacionaria. Variando S se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange: d/dt (∂L/∂q̇_i) − ∂L/∂q_i = 0, que son equivalentes a la segunda ley de Newton, pero pueden aplicarse en coordenadas arbitrarias. El formalismo lagrangiano se extiende a la teoría de campos (mediante la densidad lagrangiana), la mecánica cuántica (integrales de camino de Feynman) y la física de partículas elementales. Las simetrías del lagrangiano, según el teorema de Noether, conducen a leyes de conservación.

History

Fue presentado por primera vez por Joseph-Louis Lagrange en su «Mécanique analytique» (1788) con el objetivo de construir una mecánica sin construcciones geométricas. En el siglo XIX, William Rowan Hamilton lo reformuló en el formalismo hamiltoniano. Henri Poincaré desarrolló la teoría de sistemas dinámicos. Emmy Noether demostró en 1918 el teorema que relaciona las simetrías continuas del lagrangiano con las magnitudes conservadas. En la teoría cuántica de campos, el lagrangiano se convirtió en la base del Modelo Estándar.

How it works

Para un sistema con coordenadas generalizadas q_i, el lagrangiano se escribe como L(q, q̇, t) = T − V. Las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtienen de la exigencia de que la variación de la acción sea nula. Por ejemplo, para una partícula en un campo potencial, L = ½ m ẋ² − V(x). El teorema de Noether afirma: a cada simetría continua del lagrangiano le corresponde una integral del movimiento (energía, momento, etc.).

L = T - V

L — lagrangiano, T — energía cinética, V — energía potencial

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0

L — lagrangiano, q_i — coordenada generalizada, \dot{q}_i — velocidad generalizada, t — tiempo

Open problems & fun facts

Construcción del lagrangiano para sistemas con ligaduras no holónomas; Justificación del principio de mínima acción más allá de la física clásica; Cuantización de lagrangianos con simetrías gauge

💡 El lagrangiano del Modelo Estándar de las partículas elementales, escrito en forma compacta, cabe en una sola página, aunque describe todas las interacciones conocidas excepto la gravedad.

No articles yet

lagrangiano

History

How it works

History

How it works

History

How it works

Open problems & fun facts

Related articles