Nota de trabajo · dinámica clásica · parte II
Lo que se conserva en el movimiento: impulso, energía, momento angular
Tres magnitudes que la física prohíbe gastar en vano: por mucho que cambie el panorama dentro del sistema, su suma —si el sistema está aislado— permanece la misma antes y después.
De las tres leyes de Newton (véase la parte I) se derivan tres magnitudes que en un sistema aislado no cambian con el tiempo: el impulso, la energía y el momento angular. No son coincidencias casuales, sino una consecuencia directa de las simetrías del espacio y el tiempo (teorema de Noether, §6). En esta nota se presentan las tres leyes de conservación por separado con ejemplos numéricos, y luego un ejemplo continuo (choque elástico e inelástico) donde se ve que el impulso se conserva siempre, mientras que la energía solo a veces.
Tres magnitudes conservadas
La mecánica newtoniana no solo proporciona la ecuación de movimiento, sino también tres «cuentas» cuya suma no cambia mientras nadie toque el sistema desde fuera.
| Magnitud | Fórmula | Se conserva cuando... |
|---|---|---|
| Impulso | p = mv | no hay fuerzas externas (ΣFext = 0) |
| Energía | E = K + U | no hay fricción/resistencia (las fuerzas son conservativas) |
| Momento angular | L = Iω | no hay momento de torsión externo (Στext = 0) |
Es importante distinguir de inmediato los dos significados distintos de la palabra «se conserva»: dentro del sistema, la magnitud puede libremente redistribuirse entre las partes (el impulso, de un cuerpo a otro; la energía, de cinética a potencial) — solo se conserva la suma total del sistema, y no el valor de cada cuerpo por separado.
Observe: las condiciones para las tres leyes son diferentes. La colisión de dos bolas de plastilina conserva siempre el impulso, pero no la energía mecánica (parte se convierte en calor de deformación), lo que se analiza en detalle en el §5.
Impulso: la suma no cambia
Formulación. Si sobre un sistema de cuerpos no actúan fuerzas externas (o su resultante es nula), el impulso total del sistema permanece constante. Es una consecuencia directa de la tercera ley de Newton (parte I, §4): las fuerzas de interacción dentro del sistema son siempre parejas y opuestas, por lo que se cancelan al sumarlas en todo el sistema.
Un cañón de 500 kg está en reposo y dispara una bala de 5 kg con velocidad de 100 m/s. El impulso de la bala hacia adelante es igual al impulso de retroceso del cañón hacia atrás en magnitud, no en velocidad (la velocidad del cañón es menor porque su masa es mayor).
El mismo cálculo que para los patinadores en la parte I, §4: allí las fuerzas surgen en pares y el impulso simplemente «se transfiere» de un cuerpo a otro, permaneciendo nulo en total si el sistema estaba en reposo antes de la interacción.
El impulso se conserva en cualquier colisión —elástica (las bolas rebotan, la energía cinética total es la misma) e inelástica (los cuerpos quedan unidos o se deforman, parte de la energía se disipa en calor/sonido). La diferencia entre ellas radica en la energía, no en el impulso. En el §5 se da un ejemplo numérico detallado de ambos tipos.
Energía: cambia de disfraz
Formulación. En un sistema donde solo actúan fuerzas conservativas (gravedad, elasticidad, pero no fricción), la energía mecánica total, suma de la cinética y la potencial, es constante:
El ejemplo clásico es el péndulo o el columpio: en el punto más alto la velocidad es cero (K = 0), toda la energía es potencial; en el punto más bajo la altura es mínima (U = 0), toda la energía es cinética. A medio camino hay una fracción de cada una, pero la suma es la misma en cualquier punto de la oscilación.
Ejemplo numérico: un cuerpo cae desde una altura h = 5 m sin velocidad inicial (despreciando la resistencia del aire). ¿Cuál es su velocidad al llegar al suelo?
La masa se cancela: la caída sin resistencia del aire no depende de la masa del cuerpo (el mismo resultado para una pluma y un martillo si se elimina el aire, el famoso experimento de la pluma y el martillo en la Luna).
La ley de conservación de la energía no es una observación empírica, sino una prohibición directa: para que un dispositivo funcione eternamente y realice trabajo útil, necesitaría obtener energía de alguna parte sin fuente externa, es decir, crearla de la nada. Los mecanismos reales siempre pierden parte de su energía por fricción y resistencia (se convierte en calor, que también es energía, solo que en una forma menos «útil»), por lo que se detienen si no se les suministra energía.
Momento angular: el patinador acelera
Formulación. Si sobre un cuerpo no actúa un momento de torsión externo, su momento angular es constante. Para un cuerpo rígido en rotación, L = Iω, donde I es el momento de inercia (una medida de la «dificultad para acelerar la rotación», que depende de cómo esté distribuida la masa respecto al eje) y ω es la velocidad angular:
Un patinador gira con los brazos extendidos (I grande, lentamente), luego los pega al cuerpo (I se reduce a una cuarta parte) y la rotación se acelera bruscamente, justo para que L se mantenga igual. No es una metáfora forzada: así es como los patinadores aceleran físicamente la rotación sin aplicar ninguna fuerza adicional.
Ejemplo numérico: un patinador gira con los brazos extendidos con un momento de inercia I1 = 4 kg·m² y una velocidad angular ω1 = 2 rad/s. Al pegar los brazos, reduce el momento de inercia a I2 = 1 kg·m². Encuentre la nueva velocidad angular.
La rotación se aceleró cuatro veces, exactamente en la misma proporción en que se redujo el momento de inercia. Ningún músculo del patinador realiza trabajo directamente «para acelerar la rotación» en el momento de pegar los brazos: la fuente del aumento de energía cinética de rotación es otra (el trabajo muscular contra el efecto «centrífugo» al acercar los brazos al cuerpo), pero la conservación de L se cumple exactamente en cualquier caso, independientemente del mecanismo.
Segunda ley de Kepler (1609): un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, moviéndose más rápido cerca del Sol y más lento lejos de él. Esto es exactamente la conservación del momento angular del planeta respecto al Sol, 70 años antes de que Newton formulara las leyes de la dinámica. Más detalles: segunda ley de Kepler.
Ejemplo continuo: choque elástico e inelástico
Tomemos dos bolas de igual masa (m = 2 kg cada una): la bola A se mueve a 6 m/s y choca con la bola B en reposo. Analicemos ambos escenarios del choque.
Choque elástico (también se conserva la energía)
Con masas iguales, en un choque perfectamente elástico las velocidades simplemente se intercambian: A se detiene (vA = 0), B sale con la velocidad que tenía A (vB = 6 m/s). Comprobación con ambas leyes:
| Antes del choque | Después del choque | |
|---|---|---|
| Impulso, kg·m/s | 2·6 + 2·0 = 12 | 2·0 + 2·6 = 12 |
| En. cinética, J | ½·2·6² = 36 | ½·2·6² = 36 |
Choque inelástico (la energía NO se conserva)
Carrito m1 = 3 kg se mueve a 4 m/s y se engancha con un carrito en reposo m2 = 1 kg, luego se mueven juntos:
| Antes del choque | Después del choque | |
|---|---|---|
| Impulso, kg·m/s | 3·4 + 1·0 = 12 | 4·3 = 12 |
| En. cinética, J | ½·3·4² = 24 | ½·4·3² = 18 |
24 − 18 = 6 J de energía cinética «desaparecieron»; en realidad no desaparecieron, sino que se transformaron en calor y sonido de la deformación del enganche (la ley de conservación de la energía del §3 no se viola, simplemente la energía mecánica pasó a una forma no mecánica). El impulso, por otro lado, es una magnitud vectorial sin formas «no mecánicas», no tiene a dónde ir más que permanecer en el movimiento de los cuerpos; de ahí la diferencia en el comportamiento de ambas leyes.
Adónde conduce: teorema de Noether
En la parte I (§6) ya se adelantó: teorema de Noether (Emmy Noether, 1918) vincula cada una de las tres leyes de conservación con una simetría del espacio-tiempo, no por casualidad, sino como una consecuencia matemática rigurosa del principio de mínima acción.
| Simetría | Qué significa | Da la conservación de |
|---|---|---|
| Homogeneidad del tiempo | las leyes de la física no cambian de una época a otra: un experimento realizado ayer y hoy da el mismo resultado | la energía |
| Homogeneidad del espacio | las leyes de la física no cambian de un lugar a otro: traslade el laboratorio un kilómetro y el resultado es el mismo | del impulso |
| Isotropía del espacio | las leyes de la física no dependen de la dirección: no hay un eje privilegiado en el Universo | del momento angular |
Esto invierte el orden intuitivo de causa y efecto: normalmente parece que «primero están las leyes de conservación y las simetrías son su consecuencia». En realidad es al revés: las simetrías del espacio-tiempo son primarias, y las leyes de conservación se derivan formalmente de ellas, mediante la ecuación de Euler-Lagrange aplicada a la acción S (véase parte I, §6, fórmula (4)).
Las tres leyes sobreviven al paso a la mecánica cuántica (el impulso, la energía y el momento angular se convierten en operadores, pero su conservación en un sistema aislado sigue siendo exacta) y a la relatividad especial (la energía y el impulso se unifican en un solo cuadrivector de energía-impulso, y la masa en reposo se relaciona con él mediante E = mc², un tema extenso aparte). La relatividad general es una excepción: allí la conservación de la energía, en general, deja de estar definida localmente de manera precisa debido a la ausencia de una simetría global del tiempo en el espacio-tiempo curvado, lo que sigue siendo objeto de debate en la frontera entre la física y la filosofía de la ciencia.
En el sitio web se tratan como leyes separadas, si se desea profundizar:
Ley de conservación del impulso · Ley de conservación de la energía · Ley de conservación del momento angular · Teorema de Noether
Experimento en casa
Siéntese en una silla de oficina que gire libremente, tome algo pesado en cada mano (libros, pesas, botellas de agua) y extienda los brazos a los lados. Pida a alguien que le dé un pequeño impulso giratorio (o impúlsese usted mismo con los pies). Mientras gira, pegue repentinamente los brazos al pecho.
Qué observar la velocidad de rotación aumentará notablemente ante sus ojos, sin ningún impulso adicional. Es exactamente la misma física que la del patinador en el §4: el momento de inercia disminuye, la velocidad angular aumenta para que L = Iω se mantenga igual. Vuelva a extender los brazos: la rotación se frenará de nuevo.
Si tiene en casa un «péndulo de Newton» de sobremesa (5 bolas metálicas colgadas en fila), separe la bola del extremo y suéltela. Observe: del otro extremo rebota exactamente UNA sola bola, con la misma velocidad, y no, por ejemplo, dos bolas cada una con la mitad de velocidad.
Qué observar ambas opciones («1 bola rápida» y «2 bolas a la mitad de velocidad») conservan formalmente el impulso, pero solo la opción de una bola conserva TAMBIÉN la energía cinética (el choque entre las bolas es casi perfectamente elástico, el metal apenas se deforma). La naturaleza «elige» el resultado que es compatible con ambas leyes a la vez.
Problemas para comprobar
Primero piense por sí mismo, luego abra la solución. Los números se han elegido para que el resultado sea entero. La solución sigue siempre el esquema: Datos → Ley → Solución → Respuesta.
1. Un cosmonauta de 80 kg, en el espacio exterior, está en reposo respecto a la estación y lanza una llave inglesa de 0.5 kg con una velocidad de 8 m/s. ¿Con qué velocidad comenzará a desplazarse el cosmonauta?
Datos mcosm = 80 kg, mllave = 0.5 kg, vllave = 8 m/s, el impulso total antes del lanzamiento = 0.
Ley conservación del impulso (§2): 0 = mcosmvcosm + mllavevllave.
Solución vcosm = −0.5·8/80 = −0.05 m/s.
Respuesta 0.05 m/s, en dirección opuesta al lanzamiento: lento, pero imparable sin ayuda externa.
2. Una bola de 4 kg rueda sin fricción por una rampa desde una altura de 2 m. ¿Cuál es su velocidad abajo?
Datos m = 4 kg, h = 2 m, g ≈ 10 m/s².
Ley conservación de la energía (§3): mgh = ½mv².
Solución v = √(2gh) = √(2·10·2) = √40 ≈ 6.3 m/s; la masa no aparece en el resultado.
Respuesta ≈6.3 m/s (la masa de la bola no influye; coincidirá con cualquier otra bola sin fricción).
3. Un patinador gira con un momento de inercia de 6 kg·m² y una velocidad angular de 1.5 rad/s; luego pega los brazos y reduce el momento de inercia a 2 kg·m². Halle la nueva velocidad angular.
Datos I1 = 6 kg·m², ω1 = 1.5 rad/s, I2 = 2 kg·m².
Ley conservación del momento angular (§4): I1ω1 = I2ω2.
Solución ω2 = 6·1.5/2 = 4.5 rad/s.
Respuesta 4.5 rad/s — tres veces más rápido (I se redujo a un tercio).
4. Dos vagones de 5000 kg cada uno se enganchan en movimiento: el primero va a 6 m/s y el segundo está parado. Halle la velocidad común tras el enganche y la pérdida de energía cinética.
Datos m1 = m2 = 5000 kg, v1 = 6 m/s, v2 = 0.
Ley conservación del impulso en choque inelástico (§5): m1v1 = (m1+m2)vtotal.
Solución vtotal = 5000·6/10000 = 3 m/s. Kantes = ½·5000·6² = 90000 J. Kdespués = ½·10000·3² = 45000 J.
Respuesta 3 m/s, se pierden 45000 J (exactamente la mitad se fue en ruido y deformación del enganche).
5. Un niño de 40 kg está de pie sobre un monopatín de 4 kg en reposo y salta hacia adelante con una velocidad de 2 m/s respecto al suelo. ¿Con qué velocidad retrocederá el monopatín?
Datos mniño = 40 kg, vniño = 2 m/s, mpatín = 4 kg, impulso total antes del salto = 0.
Ley conservación del impulso (§2, el mismo procedimiento que para el bote en la parte I).
Solución vpatín = −40·2/4 = −20 m/s.
Respuesta 20 m/s, en dirección opuesta al salto; la pequeña masa del monopatín le da una velocidad de retroceso desproporcionadamente alta.
¿Una errata, fórmula incorrecta, número que no cuadra, explicación confusa? Escríbanos: feedback@bridge42worlds.org. Todos los mensajes se leen, se analizan y se corrigen en consecuencia; no es «en vano».