Nota de trabajo · matemáticas · parte V
Fórmula de Euler: cómo la rotación se convirtió en álgebra
Una línea de 1748 que vinculó el crecimiento exponencial con la rotación circular — y al mismo tiempo presentó una ecuación que Feynman llamó «la fórmula más notable de las matemáticas».
En 1748, Leonhard Euler, expandiendo ex, cos x y sin x en series infinitas y sustituyendo un número imaginario en lugar de x, descubrió que las tres funciones son en realidad proyecciones diferentes de un mismo objeto: la rotación. La fórmula eiθ = cosθ + i sinθ traduce el lenguaje del «crecimiento» al lenguaje del «giro» — y convierte el análisis de oscilaciones y ondas en álgebra de potencias simple. El caso especial θ = π es una identidad que une cinco constantes fundamentales de las matemáticas en una sola línea.
Tres miradas a una fórmula
| Mirada | Qué se ve |
|---|---|
| Algebraica | eiθ — número complejo igual a cosθ + i sinθ |
| Geométrica | punto en la circunferencia unitaria del plano complejo con ángulo θ respecto al eje |
| Analítica | coincidencia de las series infinitas de ex, cos x, sin x tras sustituir x = iθ (§3) |
Ninguna de las tres miradas es «más importante»: la fuerza de la fórmula de Euler reside precisamente en que es simultáneamente una identidad algebraica, un hecho geométrico y una coincidencia analítica de series. Empecemos por lo más visual: la geometría.
Geometría: punto en la circunferencia
Formulación. El número complejo eiθ es un punto en la circunferencia unitaria (radio 1) del plano complejo, ubicado a un ángulo θ respecto al eje real positivo:
A medida que el punto recorre la circunferencia (θ crece de 0 a 2π), su coordenada horizontal traza fielmente el coseno, y la vertical el seno: las mismas funciones que viste en las gráficas de trigonometría, solo que ahora como proyecciones de una rotación UNIFORME, no como curvas onduladas separadas. Esa imagen es justamente el contenido de la fórmula: «e elevado a una potencia imaginaria» no es un número abstracto, sino la coordenada de un punto en movimiento circular uniforme.
cos²θ + sin²θ = 1 es la identidad trigonométrica fundamental, conocida desde la escuela. Para eiθ esto significa que la distancia del origen al punto siempre es exactamente 1, para cualquier θ; el punto no puede salirse de la circunferencia unitaria, solo puede recorrerla. De ahí el papel de θ: literalmente, el ángulo recorrido, lo único que cambia.
De dónde surge: series de Taylor
La fórmula no es un postulado, sino una consecuencia de que ex, cos x y sin x se pueden escribir como sumas infinitas (series de Taylor):
Sustituimos en la serie de ex en lugar de x el número imaginario iθ y recordamos que i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 (las potencias de i se repiten cíclicamente con periodo 4):
Agrupamos por separado los términos sin i (potencias pares de θ) y los términos con i (potencias impares): el primer grupo coincide exactamente con la serie de cosθ, el segundo (sin el factor común i) con la serie de sinθ:
La coincidencia no es forzada, es inevitable tan pronto como se define ex para números complejos mediante la misma serie que para los reales. Esto explica por qué la fórmula funciona: tres objetos aparentemente distintos (exponencial, coseno, seno) matemáticamente son una misma familia de funciones, que solo se diferencian por el tipo de argumento que reciben: real, imaginario puro.
Identidad de Euler
Sustituimos en la fórmula de Euler el ángulo concreto θ = π (media vuelta, el punto en la circunferencia queda justo a la izquierda del centro, en el punto −1):
En encuestas a matemáticos (por ejemplo, la encuesta de la revista Mathematical Intelligencer, 1990) la identidad de Euler ocupa consistentemente el primer lugar. La razón no es mística, sino de economía extrema: cinco constantes de áreas completamente diferentes de las matemáticas (0 y 1: aritmética, e: análisis/crecimiento, i: álgebra/números complejos, π: geometría/circunferencias) están relacionadas mediante tres operaciones elementales (suma, multiplicación, exponenciación) sin un solo símbolo superfluo. Richard Feynman la llamó «nuestra joya» y «la fórmula más notable de las matemáticas».
Ejemplo transversal: corriente alterna
Los ingenieros eléctricos rara vez escriben cos y sin explícitamente; en su lugar, representan la tensión de corriente alterna como un vector giratorio (fasor,) en el plano complejo, usando la fórmula de Euler:
Por qué esto es más cómodo que trabajar directamente con cos/sin: la suma de dos tensiones alternas de la misma frecuencia (por ejemplo, en la red) se reduce a la suma de números complejos (vectores) — geometría simple de paralelogramo, en lugar de las engorrosas fórmulas trigonométricas de suma de ángulos. La fórmula de Euler es un diccionario-traductor entre la trigonometría «incómoda» y el álgebra «cómoda» de exponenciales complejas.
La transformada de Fourier (que descompone cualquier señal — sonido, imagen — en una suma de oscilaciones simples de diferentes frecuencias) en su forma práctica casi siempre se escribe mediante eiθ, y no mediante cos/sin por separado — exactamente por la misma razón: sumar y multiplicar exponenciales complejas es computacionalmente más sencillo. Es precisamente lo que está detrás de la compresión de audio (MP3) y de imágenes (JPEG).
A dónde conduce: fase cuántica
La fórmula de Euler no se quedó en una curiosidad matemática: en los años 1920, Erwin Schrödinger descubrió que la función de onda de una partícula cuántica se escribe de forma natural mediante esa misma exponencial con exponente imaginario:
Aquí el papel del «ángulo θ» lo desempeña la combinación del momento p, la energía E y el tiempo t de la partícula. El módulo de esa función de onda (la distancia del punto al centro, §2) siempre es 1, lo que garantiza matemáticamente la unitaridad de la evolución cuántica: la probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar siempre se mantiene al 100%, sin importar cómo cambie la fase. Sin la fórmula de Euler, habría que seguir por separado las partes coseno y seno de la función de onda; con ella, todo se reduce a una sola exponencial giratoria.
Un matiz cuántico curioso: el ángulo θ de una función de onda aislada no es físicamente medible (se puede multiplicar toda la expresión por cualquier eiα y las predicciones no cambian). Pero si una partícula puede seguir dos caminos diferentes al mismo tiempo (como en el experimento de la doble rendija), la DIFERENCIA de fase entre los caminos se vuelve medible: es lo que crea el patrón de interferencia. La realidad misma de la rotación en el plano complejo sigue siendo objeto de debate filosófico, pero sus consecuencias matemáticas no.
En el sitio es una ley aparte, por si quieres profundizar:
Ecuación de Schrödinger · Fórmula de De Broglie · Ecuación de Planck-Einstein
Experimento en casa
Ata una cuerda a un clavo o al pomo de una puerta, amarra en el otro extremo un pequeño peso (una manzana, llaves) y hazlo girar para que describa un círculo uniforme en un plano horizontal (como un poi). Ilumínalo con una linterna desde un lado, de forma estrictamente horizontal, de modo que la sombra caiga sobre la pared.
Qué observar la sombra en la pared no se moverá en círculo, sino estrictamente de un lado a otro en línea recta, ralentizándose sinusoidalmente en los extremos y acelerándose en el centro; esa es justamente la proyección de la rotación uniforme sobre un eje (§2, cosθ o sinθ, según la dirección de iluminación). Exactamente lo mismo hace matemáticamente la fórmula de Euler: toma el movimiento circular y calcula fielmente su proyección.
Si tienes un espirógrafo en casa (juego de engranajes con agujeros para dibujar patrones) o encuentras un simulador en línea, dibuja varios patrones cambiando la relación de radios de los engranajes.
Qué observar los hermosos patrones «florales» del espirógrafo son literalmente sumas de varias rotaciones con frecuencias distintas (matemáticamente, suma de varios eiθ con diferentes coeficientes de θ), el mismo principio que subyace a la descomposición de Fourier de cualquier señal compleja en oscilaciones simples (§5).
Problemas de verificación
Primero piensa por tu cuenta y luego abre la solución. La solución sigue siempre el esquema: Datos → Ley → Resolución → Respuesta.
1. ¿Cuánto vale e^(iπ/2) en forma algebraica (a + bi)?
Datos θ = π/2 (un cuarto de vuelta).
Ley fórmula de Euler (§2): eiθ = cosθ + i·sinθ.
Resolución cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1 ⇒ eiπ/2 = 0 + i·1.
Respuesta i — punto justo en la parte superior de la circunferencia unitaria.
2. Sin calcular explícitamente, explica por qué |e^(iθ)| (el módulo del número) es igual a 1 para CUALQUIER valor de θ.
Ley significado geométrico de la fórmula de Euler (§2) + identidad trigonométrica fundamental.
Resolución |eiθ| = √(cos²θ + sin²θ) = √1 = 1: la identidad cos²+sin²=1 se cumple para cualquier ángulo, por eso la distancia del punto al centro siempre es exactamente uno, independientemente de θ.
Respuesta siempre 1 — el punto está obligado a permanecer en la circunferencia unitaria.
3. ¿Cuánto vale e^(i·2π) (vuelta completa)? ¿Qué dice esto sobre la periodicidad de e^(iθ)?
Datos θ = 2π (vuelta completa).
Ley fórmula de Euler (§2).
Resolución cos(2π) = 1, sin(2π) = 0 ⇒ ei·2π = 1 + i·0 = 1.
Respuesta ei·2π = 1 — tras una vuelta completa, el punto regresa al inicio; eiθ es periódica con periodo 2π, como corresponde a un punto en la circunferencia.
4. Dos tensiones alternas de la misma frecuencia se representan mediante los fasores U₁ = 3 (sobre el eje real) y U₂ = 4i (sobre el eje imaginario). ¿Cuál es el módulo de la tensión total?
Datos U1 = 3, U2 = 4i (fasores perpendiculares, §5).
Ley suma de números complejos (geométricamente, paralelogramo) + módulo de un número complejo |a+bi| = √(a²+b²).
Resolución U1+U2 = 3+4i; |3+4i| = √(9+16) = √25 = 5.
Respuesta 5 — la clásica terna 3-4-5; la tensión total es mayor que cada una de las componentes por separado, pero menor que su suma aritmética (7), porque los fasores no coinciden en dirección.
5. Expresa cos θ en términos de e^(iθ) y e^(-iθ), usando que e^(-iθ) = cos θ − i·sin θ.
Datos eiθ = cosθ+i·sinθ, e−iθ = cosθ−i·sinθ.
Ley suma de dos formas de la fórmula de Euler: las partes imaginarias se cancelan.
Resolución eiθ+e−iθ = 2cosθ ⇒ cosθ = (eiθ+e−iθ)/2.
Respuesta cosθ = (eiθ+e−iθ)/2 — fórmula estándar que físicos e ingenieros usan casi con más frecuencia que la propia definición del coseno.
Una errata, una fórmula incorrecta, un número que no cuadra, una explicación torpe: escríbenos: feedback@bridge42worlds.org. Cada mensaje se lee de verdad, se analiza y se corrige en consecuencia; esto no es «para el cajón».