Nota de trabajo · mecánica cuántica · parte VI
Ecuación de Schrödinger: la partícula como onda estacionaria
El electrón en el átomo no es una bolita en una órbita, sino algo mucho más parecido a una cuerda vibrante: tiene sus propias «notas», y solo puede «tocar» esas notas.
En 1926, Erwin Schrödinger, desarrollando la idea de Louis de Broglie sobre la naturaleza ondulatoria de la materia (ver fórmula de Euler, parte V), dedujo la ecuación que determina la evolución de la función de onda ψ — un objeto matemático cuyo módulo al cuadrado da la probabilidad de encontrar la partícula en un punto dado. La ecuación es lineal y determinista, pero gobierna probabilidades, no trayectorias exactas. En esta nota: la ecuación en sí, su solución exacta más simple (partícula en una caja) y de dónde surge la cuantización de la energía.
La función de onda en pocas palabras
En mecánica cuántica, la partícula no tiene a la vez una coordenada exacta y una velocidad exacta (principio de indeterminación de Heisenberg) — en su lugar, la describe completamente la función de onda ψ(x,t), un número complejo en cada punto del espacio y momento del tiempo.
| Objeto | Qué significa |
|---|---|
| ψ(x,t) | función de onda — descripción completa del estado de la partícula (número complejo) |
| |ψ(x,t)|² | densidad de probabilidad de encontrar la partícula cerca del punto x en el instante t (regla de Born) |
| ∫|ψ|²dx = 1 | la partícula tiene que estar en algún sitio — probabilidad total igual al 100% |
Esto no significa «la partícula está difuminada en el espacio, como una nube de polvo» — es más correcto decir: antes de la medición no hay un hecho acerca de dónde está exactamente la partícula, solo hay una distribución de probabilidades de dónde caerá el resultado de la medición.
La ecuación en sí
Formulación (ecuación dependiente del tiempo). La función de onda evoluciona en el tiempo según la regla:
La unidad imaginaria i no es un adorno aquí — recuerde la fórmula de Euler (parte V): es ella la que garantiza que la solución es una fase que gira en el plano complejo, y por tanto |ψ|² permanece constante en el tiempo si no se perturba el sistema (unitaridad, la probabilidad total no «se fuga» a ninguna parte).
Para estados con energía bien definida E (estados estacionarios) la ecuación se reduce a un problema de valores propios:
Precisamente esta forma estacionaria, más simple, se usa en §3 — convierte la búsqueda de la solución en un problema puramente geométrico: «qué forma de onda cabe en las condiciones dadas».
Partícula en una caja
El sistema exactamente soluble más simple — partícula confinada en una «caja» unidimensional de ancho L con paredes infinitamente altas (ψ = 0 en los bordes, como una cuerda fija en ambos extremos). Las soluciones de la ecuación estacionaria (1) para dicha caja son exactamente ondas estacionarias:
Pulse en la n de arriba — la forma de onda cambia, y con ella el número de nodos (puntos dentro de la caja donde ψ = 0, la partícula no puede ser encontrada allí en absoluto). Exactamente como una cuerda de guitarra: n = 1 — tono fundamental sin nodos, n = 2 — primer armónico con un nodo en el medio, y así sucesivamente.
Cuantización de la energía
Sustituyendo ψn en la ecuación (1), obtenemos la energía de cada nivel:
Esto es la cuantización: a diferencia de una partícula clásica (una pelotita en una caja puede tener cualquier energía — impúlsala más débil o más fuerte), la partícula cuántica en una caja solo puede tener las energías de la lista E1, 4E1, 9E1, 16E1, ... — ningún nivel intermedio está permitido.
La menor energía permitida es E1, no cero. Esto es una consecuencia directa del principio de indeterminación de Heisenberg: si la partícula tuviera E = 0, estaría absolutamente inmóvil (momento cero) Y confinada en una caja de tamaño finito (coordenada exactamente conocida) — ambos hechos exactamente a la vez, lo cual está prohibido. El «temblor» en el punto cero (energía del punto cero) no es un detalle técnico, sino una prohibición fundamental.
Efecto túnel
En realidad, las paredes de la caja nunca son infinitamente altas. Si la pared es de altura finita (barrera de energía), la solución de la ecuación de Schrödinger muestra: la función de onda no se corta bruscamente en el borde de la barrera, sino que decae rápidamente dentro de él, permaneciendo no nula — y por tanto, existe una probabilidad pequeña pero no nula de encontrar la partícula al OTRO lado de la barrera, incluso si clásicamente no tiene suficiente energía para saltarla.
Precisamente en el efecto túnel se basa el microscopio de efecto túnel (1981, Binnig y Rohrer, Premio Nobel): una aguja finísima se acerca casi hasta tocar la superficie (¡sin tocarla!), los electrones hacen túnel a través del espacio, y a través de la intensidad de la corriente túnel se reconstruye el relieve de la superficie con resolución de átomos individuales. El mismo efecto explica la desintegración alfa de los núcleos y el funcionamiento de la memoria flash.
Ejemplo transversal: niveles de energía
Supongamos que en cierta caja la energía del nivel fundamental E1 = 2 eV (valor supuesto para la claridad del cálculo). Según la fórmula del §4 (En = n²E1) hallemos unos cuantos niveles siguientes:
| n | En/E1 | En, eV |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 18 |
| 4 | 16 | 32 |
La distancia entre niveles vecinos AUMENTA con n (8−2=6, luego 18−8=10, luego 32−18=14) — no es un paso constante, como podría parecer por la palabra «cuantización». Una partícula que pasa del nivel 2 al nivel 1 emite un cuanto de luz exactamente con energía 8−2=6 eV — ni más, ni menos; este es el mecanismo que da lugar a los espectros atómicos de rayas (ver también la ecuación de Planck-Einstein).
A dónde conduce: superposición y el gato
La ecuación de Schrödinger es lineal — por tanto, si ψ1 y ψ2 ambos son soluciones, su suma (superposición) c1ψ1 + c2ψ2 también es solución. La partícula puede estar a la vez «un poco en el estado 1 y un poco en el estado 2» — no en sentido figurado, sino literalmente, mientras no se realice una medición sobre ella.
El propio Schrödinger ideó el experimento mental del gato en 1935 como crítica, y no como aprobación de la interpretación de Copenhague: un gato está encerrado en una caja con un mecanismo que con 50% de probabilidad libera veneno si un átomo radiactivo se desintegra (evento cuántico). La aplicación formal de la ecuación a TODO el sistema «átomo+mecanismo+gato» antes de abrir la caja da una superposición de «gato vivo» y «gato muerto» simultáneamente — una conclusión absurda para un objeto macroscópico, con la que Schrödinger señalaba el no resuelto problema de la medición (§7, key_problems): dónde exactamente y por qué la superposición se convierte en un único resultado definido, la ecuación por sí misma no lo dice.
En el sitio hay leyes separadas, por si se quiere profundizar:
Ecuación de Schrödinger · Principio de indeterminación de Heisenberg · Principio de superposición · Fórmula de de Broglie
Experimento en casa
Tense una cuerda de tender o un muelle slinky entre dos puntos fijos (o pídale a alguien que sostenga un extremo) y sacúdalo con la mano a distintas frecuencias, ajustando la velocidad, hasta que «atrape» una onda estacionaria nítida — primero con un «vientre», luego (sacuda más rápido) con dos.
Qué observar la onda «se fija» en una posición clara solo a determinadas frecuencias de sacudida — a frecuencias intermedias se obtiene un temblor caótico sin forma definida. Este es un modelo mecánico MUY ILUSTRATIVO de los §3-§4: los extremos fijos de la cuerda hacen el papel de las paredes de la caja, y las formas de onda claras permitidas son exactamente los niveles cuánticos permitidos n=1,2,3, solo que para la cuerda — con frecuencia del sonido, y para el electrón — con energía.
En una habitación oscura, apunte un puntero láser hacia un cabello fino (propio o de un cepillo), fijado verticalmente, de modo que el haz pase junto a él, hacia una pared blanca a una distancia de 2-3 metros.
Qué observar en la pared aparecerá no solo una sombra, sino una serie de franjas claras y oscuras alternadas (patrón de difracción) — prueba directa de que la luz se comporta como una onda que rodea el obstáculo, y no como un chorro de partículas-bolitas que vuelan en línea recta. La misma naturaleza ondulatoria que describe la ecuación de Schrödinger para los electrones aquí es visible a simple vista para la luz.
Problemas para comprobar
Primero piense por su cuenta, luego abra la solución. La solución sigue en todos los casos el esquema: Dado → Ley → Solución → Respuesta.
1. La energía del nivel fundamental de la partícula en la caja E₁ = 3 eV. ¿Cuánto vale la energía del nivel n = 3?
Dado E1 = 3 eV, n = 3.
Ley cuantización de la energía en la caja (§4): En = n²E1.
Solución E3 = 3²·3 = 9·3 = 27 eV.
Respuesta 27 eV.
2. El ancho de la caja se duplicó, sin cambiar nada más. ¿Cómo cambió la energía del nivel fundamental E₁?
Dado Lnuevo = 2L (ancho duplicado).
Ley fórmula del §4: E1 ∝ 1/L².
Solución E1,nuevo/E1 = L²/(2L)² = 1/4.
Respuesta disminuyó 4 veces — cuanto más espaciosa es la caja, más baja es la energía de la partícula confinada (intuitivamente: menos «apretada», menor energía cinética de localización).
3. ¿Cuántos nodos (puntos interiores con ψ = 0) tiene la función de onda del nivel n = 5?
Dado n = 5.
Ley el número de nodos interiores de ψn es igual a n − 1 (§3: n=1 — 0 nodos, n=2 — 1 nodo, y así sucesivamente).
Solución nodos = 5 − 1 = 4.
Respuesta 4 nodos — aún habría 2 «nodos» en las propias paredes, pero estos normalmente no se cuentan, ya que son fronteras, no puntos interiores.
4. Un electrón pasa del nivel n = 2 (E = 8 eV) al nivel n = 1 (E = 2 eV), emitiendo un fotón. ¿Cuál es la energía de ese fotón?
Dado E2 = 8 eV, E1 = 2 eV.
Ley conservación de la energía (parte II) + cuantización (§6): la energía del fotón es igual a la diferencia de niveles.
Solución Edel fotón = E2 − E1 = 8 − 2 = 6 eV.
Respuesta 6 eV — ni más, ni menos; así es como surgen las líneas nítidas en los espectros atómicos.
5. ¿Por qué la partícula en la caja no puede tener energía exactamente 0 (estar completamente en reposo)? ¿Qué principio lo prohíbe?
Ley principio de indeterminación de Heisenberg (§4-nota al pie).
Solución E = 0 significaría a la vez momento exactamente cero Y coordenada exactamente conocida (la partícula está confinada en una caja de tamaño finito) — ambos hechos exactamente simultáneos están prohibidos por el principio de indeterminación Δx·Δp ≥ ℎ/2.
Respuesta principio de indeterminación de Heisenberg — de ahí la energía mínima, «del punto cero» E1, nunca es cero.
Errata, fórmula equivocada, número que no cuadra, explicación confusa — escríbanos: feedback@bridge42worlds.org. Cada mensaje se lee, se analiza y se corrige según él — no es «para el cajón».