Une goutte d'eau dans la paume de la main — environ $10^{21}$ molécules, chacune composée de trois atomes entourés d'un essaim d'électrons. Pour comprendre comment se comporte la matière, les physiciens résolvent des équations pour ces électrons. Le problème, c'est que le nombre d'équations croît de manière avalancheuse : pour N électrons, il faut stocker $N^2$ nombres. Pour une goutte d'eau, c'est un chiffre astronomique, et aucun superordinateur ne peut y faire face.
Les auteurs de ces nouveaux travaux ont trouvé une faille. Les électrons d'une molécule ne « communiquent » pas tous de la même manière. Ceux qui sont éloignés s'influencent à peine — comme des gens aux deux extrémités d'une immense salle. On peut donc les regrouper et les décrire par une seule onde « moyenne » commune. La méthode a été baptisée superposition chromatique (du grec « couleur »), car elle ressemble à la coloration d'un graphe : les atomes entre lesquels il n'y a pas de forte liaison reçoivent une même couleur et fusionnent en un seul objet mathématique. Cela comprime radicalement les données — parfois par centaines.
Mais comment transférer rapidement les calculs vers ce langage compressé ? C'est là qu'intervient la méthode de Krylov — un bon vieux outil pour travailler avec de grandes matrices. Elle permet de construire les quantités souhaitées pas à pas, sans stocker toute la matrice d'un coup. Grâce à cela, même pour un système d'un million de molécules d'eau, les calculs évoluent linéairement : plus de molécules — proportionnellement plus de temps, et non une croissance explosive. Sur de petits problèmes, la nouvelle méthode devance déjà les anciens algorithmes linéaires d'un facteur dix, et sur de grands problèmes, elle ouvre des perspectives autrefois inimaginables.
L'utilité pratique est immense : du développement de nouveaux médicaments (où il faut savoir précisément comment une molécule de protéine interagit avec l'eau) à la création de matériaux pour l'énergie propre. Lorsqu'un ordinateur peut honnêtement, sans simplifications grossières, calculer le mouvement de dizaines de milliers d'atomes, nous commençons à voir des détails qui nous échappaient auparavant. Et tout cela grâce à l'idée que parfois, on peut assembler un tout à partir de grandes taches colorées, plutôt que de chaque grain de sable individuellement.
Si nous tentions d'écrire la fonction d'onde d'un seul gramme d'eau sous forme de nombres à virgule flottante, il nous faudrait plus de bits qu'il n'y a d'atomes dans l'Univers observable. La méthode de superposition chromatique contourne ce cauchemar en compressant la description à des dimensions raisonnables.