зонная структура

# тег · @ автор · ! учёный

Зонная структура показывает, какие значения энергии разрешены электрону в кристалле в зависимости от его импульса (точнее, волнового вектора k). Из-за периодичности решётки возникают области запрещённых энергий — запрещённые зоны. Если минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны приходятся на одинаковое значение k, говорят о прямой щели; если разные — о непрямой. По ширине запрещённой зоны различают проводники (щель отсутствует), полупроводники (щель 0.1–2 эВ) и диэлектрики (больше 2 эВ).

История

Феликс Блох в 1928 году описал поведение электронов в кристалле, как волн, отражающихся от регулярных атомных плоскостей. Его теорема о блоховской волне легла в основу зонной теории.

Как работает

Электрон в периодической решётке подобен шарику, катящемуся по стиральной доске: в одних направлениях он движется легко, в других встречает сопротивление. Зависимость энергии электрона от его волнового вектора k напоминает сложный рельеф, где есть участки с большой и малой кривизной. Там, где кривая крутая, электрон ведёт себя как лёгкая частица, где пологая — как тяжёлая. Эта зависимость и есть зонная структура.

💡 У графена — одного листа углерода — зонная структура уникальна: валентная и проводящая зоны касаются в точке Дирака, образуя конусы. Электроны там ведут себя как безмассовые частицы, подобно фотонам, и могут разгоняться до скоростей порядка миллиона метров в секунду.

В кристалле атомы расположены правильными рядами, словно дома на прямой улице. Двигаясь сквозь эту решётку, электрон может иметь лишь определённые энергии — как приёмник настраивается только на некоторые частоты. Разрешённые энергии группируются в зоны, а между ними лежат запрещённые промежутки. Если верхняя зона заполнена частично (как автобус с несколькими пассажирами), электроны способны перемещаться — это проводник. Если зона заполнена целиком, а следующая пуста и перепрыгнуть туда трудно — изолятор.

История

Как работает

💡 В кремнии минимум зоны проводимости смещён относительно максимума валентной зоны — это непрямая щель. Чтобы излучить свет, электрон должен не только спуститься в валентную зону, но и изменить импульс, столкнувшись с фононом. Это подавляет рекомбинацию, поэтому кремниевые светодиоды неэффективны, зато в солнечных батареях долгое время жизни носителей помогает собирать больше энергии.

Зонная структура — набор функций E_n(k), описывающих зависимость энергии электрона от волнового вектора k в пределах зоны Бриллюэна. Она возникает из-за периодичности кристаллического потенциала: V(r+R)=V(r). По теореме Блоха волновая функция имеет вид ψ_k(r)=e^{i k·r} u_k(r) с периодической u_k. Решая уравнение Шрёдингера, получают энергетические зоны; на границах зоны Бриллюэна из-за брэгговской дифракции возникают разрывы — запрещённые щели E_g. По заполнению зон различают металлы (перекрытие или частичное заполнение), полупроводники и диэлектрики (заполненная валентная зона и пустая зона проводимости с E_g). Эффективная масса носителей определяется кривизной зоны: 1/m* = (1/ħ²) d²E/dk². Современные методы расчёта используют теорию функционала плотности (DFT) и многочастичные GW-приближения.

История

Феликс Блох в 1928 году вывел теорему о волновой функции в периодическом потенциале, заложив основы зонной теории. Алан Вильсон в 1930-х годах объяснил деление веществ на металлы, изоляторы и полупроводники. Экспериментальные методы, такие как фотоэмиссионная спектроскопия (ARPES), в 1950–1960-х подтвердили эти представления. Лео Эсаки создал первые полупроводниковые гетероструктуры, открыв путь к зонной инженерии и приборам с квантовыми ямами.

Как работает

Периодический потенциал кристалла диагонализует гамильтониан в базисе плоских волн, приводя к зонной структуре. Из-за периодичности волновые векторы, отличающиеся на вектор обратной решётки G, эквивалентны: k ≡ k+G. В модели почти свободных электронов на границе зоны Бриллюэна возникает щель: E(k) = (ħ²k²)/(2m) ± |U_G|. В приближении сильной связи зоны формируются перекрытием атомных орбиталей. Приложенное электрическое поле изменяет k электрона: dk/dt = –eE/ħ, что эквивалентно ускорению частицы с эффективной массой m*, определяемой кривизной зоны. Оптические переходы с сохранением k (прямые) доминируют в поглощении и излучении. Топологические свойства зон, например инвариант Черна, могут приводить к появлению проводящих краевых состояний (топологические изоляторы).

\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})

ψ_k(r) — волновая функция электрона с волновым вектором k (кристаллический импульс); u_k(r) — функция с периодичностью кристаллической решётки: u_k(r+R)=u_k(r); i — мнимая единица. Теорема Блоха (1928) является следствием трансляционной симметрии.

\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E}{dk^2}

m* — эффективная масса электрона или дырки (кг); E — энергия (Дж или эВ); k — волновой вектор (м⁻¹); ħ — редуцированная постоянная Планка (ħ ≈ 1.0546×10⁻³⁴ Дж·с). Вблизи экстремума зоны E(k) ~ k²/(2m*), поэтому движение носителя во внешнем поле похоже на движение свободной частицы, но с другой инерцией.

E_g = 2|U_{\mathbf{G}}|

E_g — ширина запрещённой зоны; U_G — фурье-компонента потенциала, соответствующая вектору обратной решётки G. Расщепление возникает из-за брэгговского отражения при k = G/2: две бегущие волны складываются в стоячие с разной энергией.

Открытые проблемы и интересные факты

Точный расчёт зонных структур сильно коррелированных материалов, где одночастичное приближение нарушается (например, купратные сверхпроводники).; Предсказание и реализация топологических изоляторов с большой щелью для практической спинтроники.; Разработка методов управления зонной структурой в реальном времени с помощью сверхбыстрых лазерных импульсов.

Пока нет статей

зонная структура

История

Как работает

История

Как работает

История

Как работает

Открытые проблемы и интересные факты

Статьи по теме