энтропия фон Неймана

# тег · @ автор · ! учёный

Энтропия фон Неймана — аналог классической шенноновской энтропии, но для систем, подчиняющихся квантовым правилам. Квантовое состояние описывается матрицей плотности — таблицей вероятностей. Если частица пребывает в чистом состоянии, матрица плотности проста, а энтропия равна нулю. При взаимодействии с окружением состояние становится смешанным, матрица плотности усложняется, и энтропия растёт. Максимальное значение для системы из n кубитов равно n — полная неопределённость. Эта величина лежит в основе современных протоколов квантовой передачи данных и исправления ошибок.

История

В 1927 году математик Джон фон Нейман первым описал, как вычислять степень незнания в квантовом мире, используя особое число — энтропию.

Как работает

Представьте колоду игральных карт: если она разложена по мастям, энтропия мала — легко угадать следующую карту. Если колода хорошо перетасована, энтропия велика. Здесь вместо карт — квантовые состояния (условно «орёл» и «решка» для частицы), а вместо порядка в колоде — степень квантовой запутанности. Энтропия фон Неймана считает, сколько информации мы теряем при смешивании квантовых возможностей.

💡 Энтропия фон Неймана не может уменьшаться без обмена информацией с окружением — подобно тому, как перемешанную колоду нельзя мгновенно упорядочить, не зная точного расположения карт.

У каждой квантовой системы (например, электрона) есть набор вероятных вариантов поведения. Когда система точно находится в одном определённом состоянии (чистом), мы знаем её наверняка — энтропия равна нулю. Но чаще система оказывается похожей на перемешанный ящик с лего: мы знаем только шансы вытащить ту или иную деталь. Энтропия фон Неймана измеряет, насколько эта смесь запутана — чем больше неопределённость, тем выше число.

История

Как работает

💡 Сильная субаддитивность энтропии фон Неймана, доказанная Либом и Рускаи в 1973 году, выглядит как неравенство треугольника для квантовых систем: S(ABC) + S(B) ≤ S(AB) + S(BC) и имеет глубокие следствия для структуры квантовых корреляций.

Энтропия фон Неймана, введённая Джоном фон Нейманом в 1927 году и опубликованная в 'Математических основах квантовой механики', количественно определяет недостаток классической информации о квантовой системе. Для матрицы плотности ρ она вычисляется как S(ρ) = −Tr(ρ ln ρ), где Tr — след, а ln — матричный логарифм. В собственном базисе, где ρ = ∑ λ_i |i⟩⟨i|, энтропия переходит в знакомый вид S = −∑ λ_i ln λ_i с собственными числами λ_i (вероятностями). Она неотрицательна, равна нулю для чистых состояний и достигает максимума ln d для полностью смешанного состояния размерности d. В квантовой информации служит мерой запутанности: энтропия подсистемы даёт энтропию запутанности. Свойства аддитивности и сильной субаддитивности делают её центральным понятием теории квантовых корреляций.

История

Фон Нейман ввёл квантовую энтропию в 1932 году, исходя из аналогий со статистической термодинамикой. Идея углубилась после рождения теории информации Шеннона в 1948 году, когда выяснилась связь с пропускной способностью каналов. В 1970–80-х работах по квантовой термодинамике и декогеренции (Цурек, Линдблад) энтропия стала ключевой для описания перехода от квантового к классическому. Дэвид Дойч в 1985 году использовал её в своих новаторских концепциях квантового компьютера, заложив основы квантовой теории информации.

Как работает

В замкнутой системе эволюция унитарна (по уравнению Шрёдингера), и чистое состояние остаётся чистым – энтропия не меняется. Но реальные системы взаимодействуют с окружением, что приводит к декогеренции – матрица плотности становится смешанной, энтропия увеличивается. Для составной системы в чистом состоянии редуцированная матрица подсистемы может иметь ненулевую энтропию, и она как раз измеряет степень квантовой запутанности между частями. Вычисление включает диагонализацию ρ и формулу Σ −pᵢ log pᵢ. В квантовых вычислениях мониторинг этой энтропии помогает бороться с помехами через коды коррекции ошибок.

S(\rho) = - \operatorname{Tr} (\rho \ln \rho)

S — энтропия фон Неймана, ρ — матрица плотности системы (квантовое состояние, обобщение вероятностного описания), Tr — операция следа (сумма диагональных элементов матрицы), ln — натуральный логарифм, определённый для матрицы через её собственные числа. В представлении ρ = ∑ λ_i |i⟩⟨i| формула упрощается до S = −∑ λ_i ln λ_i, где λ_i ≥ 0, ∑ λ_i = 1 — собственные числа, интерпретируемые как вероятности.

Открытые проблемы и интересные факты

Точное вычисление энтропии для многочастичных систем требует экспоненциальных ресурсов даже на квантовых симуляторах.; Прямое экспериментальное измерение энтропии фон Неймана стало возможным лишь для малых систем (до нескольких кубитов).; Фундаментальная связь с термодинамической энтропией в сильно неравновесных квантовых процессах остаётся предметом дискуссий.

Пока нет статей

энтропия фон Неймана

История

Как работает

История

Как работает

История

Как работает

Открытые проблемы и интересные факты

Статьи по теме