في مدينة كبيرة بعد المطر، تتجمع المياه في المنخفضات نفسها، أينما سقطت أولى القطرات. بعد ساعة، لا تعتمد صورة البرك تقريبًا على المكان الذي بدأ منه المطر. هذا هو التوازن — النتيجة التي يصل إليها النظام بغض النظر عن نقطة البداية، إذا نسي التفاصيل.

في الرياضيات، تصف هذه المواقف "الشكلية الترموديناميكية" (thermodynamic formalism) — مجموعة قواعد للأنظمة التي تحتفظ بذاكرة عن الماضي، لكنها تتلاشى تدريجيًا. لنأخذ مجموعة أوراق تُخلط وفق قاعدة صارمة، لكن مع عشوائية طفيفة في حركات اليدين. بعد خلطات عديدة، يصبح ترتيب الأوراق متوقعًا في المتوسط، رغم استحالة تخمين التسلسل الدقيق. يسمي العلماء هذا "مقياس غيبس" (Gibbs measure) — وهو يبين مدى احتمالية كل تكوين في حالة السكون.

أخذ مؤلفو العمل الجديد خمسة من أكثر التعريفات شيوعًا لهذا المقياس — عبر القواعد المحلية لاستبدال حالات بحالات أخرى، وعبر الانحرافات الكبيرة عن السلوك النمطي، وعبر المتجهات الذاتية لمؤثر خاص، وعبر مبدأ الطاقة الأقل، وعبر البناء "الأسطواني" القديم الجيد. وأثبتوا أن جميعها تعطي نفس الكائن بالضبط. وقد فعلوا ذلك بأرقام صريحة: ما مدى سرعة تقارب كل شيء، وما هو الخطأ إذا غُيّرت درجة حرارة النظام قليلاً.

الفائدة العملية تكمن في الضمانات. عندما يحاكي مهندس الاضطراب في محرك، أو يحسب عالم الأحياء الطفرات في مجموعة سكانية، يمكنه أن يأخذ أيًا من التعريفات الخمسة، أيهما أسهل للحسابات، ويكون واثقًا من أن النتيجة لن تنهار. علاوة على ذلك، يقدم العمل تقديرات لسرعة نسيان الشروط الأولية — وهذا مفتاح للتنبؤ بمدى سرعة هدوء النظام بعد صدمة. وهذا ليس سوى الجزء الأول من سلسلة كبيرة من ست مقالات حول الفوضى والنظام. وهكذا نعود إلى برك ما بعد المطر: أصبح من الواضح الآن أن الرياضيات لا تستطيع فقط وصف ظهورها الحتمي في المنخفضات، بل أيضًا تحديد عدد الدقائق التي ستصبح بعدها الصورة مستقرة.