غالبًا ما تشبه الحسابات الكمومية تجميع آلية معقدة: يعرف الفيزيائي أن القطعة ستستقر في مكانها، لكنه لا يستطيع دائمًا تفسير السبب. إحدى الحيل المفضلة هي إدراج "واحد" في منتصف الصيغة، ليس واحدًا عاديًا، بل واحدًا مكونًا من مجموعة لا نهائية من جميع الحالات الممكنة للنظام. هذا يسمح بتحويل التعبير الضخم إلى سلسلة من التكاملات البسيطة. لكن الدقة الرياضية لهذه الخطوة ظلت موضع تساؤل لفترة طويلة.
العمل الجديد يضع الأمور في نصابها هنا. يبني المؤلفون إطارًا رياضيًا عامًا — نظرية التكاملات المتداخلة — تضمن أن الإدراجات المتتالية لمثل هذه "الوحدات" تؤدي دائمًا إلى مساواة دقيقة. يستنتجون بدقة الشروط التي يمكن بموجبها تبديل الضرب الداخلي والتكامل، مما يسد الفجوة التي كثيرًا ما تُتجاهل في كتب الفيزياء المدرسية. هذا يشبه إنشاء مخطط عالمي صالح لأي "تجميع" كمومي.
تتجلى قوة النهج في الأمثلة. بالنسبة للمؤثرات البسيطة، نحصل على صيغ مألوفة، وبالنسبة للمؤثرات الأكثر تعقيدًا — على سبيل المثال، تراكب الحالات المضغوطة في وسط غير خطي — تنتج النظرية تمثيلًا تكامليًا دقيقًا كان من الصعب الحصول عليه سابقًا. مثال آخر: يتم التعبير عن عناصر المصفوفة لشبكة غاوسية ثنائية النمط معقدة عبر متعددات حدود هيرميت المزدوجة. سابقًا، كان هذا الحساب يتطلب تخمينات ماهرة، والآن هو نتيجة مباشرة للإجراء العام.
هكذا تتوقف حيلة الفيزيائيين بـ"الواحد" عن كونها شعوذة وتصبح أداة رياضية صادقة. هذا لا يعزز أساس النظرية الكمومية فحسب، بل يضع في أيدينا طريقة حسابية لمشاكل جديدة — من البصريات الكمومية إلى نظرية المجال.
في ميكانيكا الكم، غالبًا ما يُكتب "الواحد" كمجموع على جميع الحالات الممكنة، وهذا ينجح حتى لو كانت الحالات لا نهائية — تقريبًا مثل مجموع الزوايا في دائرة يعطي دائمًا 360 درجة.