في عالم البلورات، هناك هندسة خفية. عندما يركض إلكترون عبر عازل ثنائي الأبعاد، يلتوي مساره بقوة غير مرئية — هي التوبولوجيا. يوصف هذا الالتواء بعدد تشيرن — وهو عدد صحيح لا يمكن تغييره بتشوه سلس. في السابق، كان لا بد من حسابه مثل المساحة تحت منحنى معقد: خطوة بخطوة، كان يتم استعادة انحناء بيري عبر منطقة بريلوين بأكملها (فضاء جميع العزوم الممكنة للإلكترون). كانت العملية طويلة وحساسة للضوضاء.

سلك مؤلفو الدراسة مسارًا مختلفًا. لاحظوا أن عدد تشيرن لا يختبئ في المساحة، بل في النقاط. حيث تتناهى الدالة الموجية إلى الصفر، تقوم طور الموجة بدورة كاملة — مثل عقرب البوصلة عند القطب الشمالي. هذه هي الدوامة الطورية. يكفي عدّ هذه الدوامات في بنية المتجهات الذاتية، فيظهر عدد تشيرن من تلقاء نفسه — عددًا صحيحًا ودقيقًا. تعمل الطريقة حتى مع الضوضاء الشديدة، لأن الدوامات أجسام صلبة: لا تختفي من اهتزاز خفيف.

الطريقة الثانية أكثر دهاءً. في الأنظمة الموجية الكلاسيكية — على سبيل المثال، في شبكة من أشعة الليزر — لا يتعين أن تكون الأنماط معيارية. يمكن أن تتغير السعة، وهذا ليس خطأً بل مفتاحًا. بمقارنة الأطوار عند حواف مختلفة للعينة، يمكن استخراج عدد تشيرن دون مسح كامل لمنطقة بريلوين. أكدت تجربة على شبكة فوتونية أن كلا الطريقتين تعطيان نفس الأعداد الصحيحة تمامًا مثل الحسابات القديمة المرهقة.