مبرهنة التقلّب والتبدّدمبرهنة
صيغت هذه المبرهنة صياغةً دقيقة على يد هيربرت كالِن وثيودور وِلتون عام 1951 بالاستناد إلى الميكانيكا الإحصائية الكمومية. بَيْدَ أنّ جذورها تعود إلى عمل ألبرت أينشتاين عام 1905 حول الحركة البراونية، حيث ربط بين حركية الجُسيم (الاستجابة التبديدية) وانتشاره (التقلّبات). وقبل ذلك، استنتج هاري نايكويست عام 1928 صيغةً لضجيج المقاومات: ⟨V²⟩ = 4k_B T R Δf، حيث Δf هو عرض النطاق التردّدي. وتعمّم مبرهنة كالِن-ولتون هذه الرابطة على أيّ منظومة قريبة من التوازن: طيف التقلّبات التلقائية يتناسب مع الجزء التخيّلي من القابلية (الدالة الاستجابة).
كيف يعمل
في حياتنا اليومية: نسمع في سمّاعات الأذن ضجيجًا خفيفًا حتّى من دون إشارة، وهذا هو الضجيج الحراري للإلكترونات في الأسلاك الذي تنبّأت به المبرهنة. وكلّما ارتفعت مقاومة السمّاعة اشتدّ الأزيز. وهذا هو السبب في أنّ الأجهزة الصوتية الحسّاسة تُصنع من مواد ذات مقاومة منخفضة أو تُبرَّد.
💡 فرض الضجيج الكهربائي حدًّا لحساسية أجهزة الاستقبال الراديوية: فحتّى المضخّم المثالي لا يمكنه أن يكون أهدأ من الضجيج الحراري، وهذا أمر بالغ الأهمية للاتصال بالمسابير الفضائية البعيدة.
S(\omega) = \frac{\hbar}{\pi} \coth\left(\frac{\hbar\omega}{2k_B T}\right) \operatorname{Im}\chi(\omega)
S(ω): كثافة طيف التقلّبات للمشاهَدة؛ ω: التردّد الزاوي؛ ħ: ثابت بلانك المخزّل (ħ ≈ 1.0546×10⁻³⁴ جول·ثانية)؛ k_B: ثابت بولتزمان (k_B ≈ 1.380649×10⁻²³ جول/كلفن)؛ T: درجة الحرارة المطلقة؛ χ(ω): القابلية الديناميكية (دالة الاستجابة)؛ Im: الجزء التخيّلي.
\langle V^2 \rangle = 4 k_B T R \Delta f
⟨V²⟩: متوسّط مربّع جهد الضجيج؛ k_B: ثابت بولتزمان (≈ 1.380649×10⁻²³ جول/كلفن)؛ T: درجة الحرارة؛ R: المقاومة الكهربائية؛ Δf: عرض نطاق القياس.